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Mathezirkel-Treffen des aktuellen Semesters

Kennenlernrunde und mathematische Spielereien (02.05.2017)

Du lernst die anderen Teilnehmer/innen des Mathezirkels kennen und testest deine mathematischen Fähigkeiten an spannenden mathematischen Spielereien.

Funktionen und ihre grundlegenden Eigenschaften (09.05.2017)

Ein aus der Schule wohlbekanntes Beispiel einer Funktion ist die Geradengleichung f(x) = ax+b mit a, b festen reellen Zahlen. Aber f(n) = n2+ 1/n mit n in den natürlichen Zahlen ist ebenfalls eine Funktion. Wir können viele Vorgänge im täglichen Leben durch Funktionen beschreiben: So ist z.B. der Spielstand in einem Fußballspiel eine Funktion der Zeit, und die Temperatur innerhalb und außerhalb der verschiedenen Gebäude des Campus der Universität Paderborn ist eine Funktion der Zeit und des Ortes. Was macht mathematisch eine Funktion aus? Wir lernen die Beschreibung einer Funktion mit Definitionsmenge, Zielmenge, Bildmenge und Funktionsvorschrift kennen und untersuchen grundlegende Eigenschaften von Funktionen an verschiedenen Beispielen.

Funktion und Umkehrfunktion (16.05.2017)

Die Umkehrfunktion der Funktion f(x) = ax+b mit a, b festen reellen Zahlen, wobei a ungleich 0 ist, ist die Funktion f-1(y) = (y-b)/a. Haben der Sinus und der Cosinus (als Kreisfunktionen) auch eine Umkehrfunktion? Was muss eigentlich gelten, damit eine Funktion eine Umkehrfunktion hat? Und was ist der genaue Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion? In diesem Kontext lernen wir die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv kennen; erst mit diesen können wir sauber beschreiben, wann eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Wir üben den Umgang mit diesen Begriffen an vielen Beispielen.

Wettbewerbsaufgaben (23.05.2017)

In diesem Mathezirkel-Treffen lösen wir spannende Wettbewerbsaufgaben aus
den Bereichen Geometrie und Zahlentheorie.

Permutationen und die Geisterfußlotterie (30.05.2017)

Permutationen beschreiben die Anordnung einer endlichen Menge von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Mit Hilfe der uralten chinesischen Geisterfußlotterie werden wir die Menge der Permutationen auf ihre Eigenschaften untersuchen.

Papierfalten und Mathematik (06.06.2017)

In dieser Sitzung des Mathezirkels werden wir uns durch Falten von Papier selber interessante Probleme erzeugen, die es dann unter Verwendung von Mathematik zu lösen gilt. Insbesondere werden wir uns mit dem historisch bedeutsamen Problem der Drittelung eines Winkels beschäftigen. Es werden Probleme verschiedener Schwierigkeitsgrade bereitgestellt, so dass jede und jeder etwas zum Knobeln hat.

Das Permanenzprinzip: Erweiterung des Potenzbegriffs (13.06.2017)

Durch Störungen des Rechnens („geht nicht“) und den Drang nach Freiheit des formalen Rechnens kommt es zu Erweiterungen des Zahlbegriffs und der bis dahin bekannten Rechen-Welt der Zahlen. Das Rechnen mit den neuen Zahlen soll möglichst ausnahmslos nach denselben Regeln erfolgen wie mit den alten. Welche Konsequenzen und welche Grenzen dieses Permanenzprinzip hat, kann man am Beispiel der Erweiterung des Potenzbegriffs gut verfolgen.

Proportionales Wachstum (20.06.2017)

Proportionales Wachstum kann man durch folgende Eigenschaft charakterisieren: Der Messwert wächst oder fällt in gleichen Zeitabständen proportional zum jeweiligen Bestand. Das Besondere an der Betrachtung von Funktionen, die solches Wachstum beschreiben, ist allerdings, dass wir nicht von einer Funktionsvorschrift ausgehen, sondern dass wir aus dieser Eigenschaft die Funktionsvorschrift herleiten.

Wieviel Prozent aller Zahlen sind eigentlich Brüche? (27.06.2017)

Es gibt unendlich viele reelle Zahlen. Es gibt auch unendlich viele Brüche. Kann man trotzdem angeben, wie viel Prozent aller Zahlen Brüche sind, bzw. dieser Frage überhaupt erst Sinn geben?

Additionstheoreme (04.07.2017)

Für lineare Funktionen der Form f(x)=ax lässt sich der Funktionswert der Summe f(x+y) einfach berechnen, nämlich als f(x)+f(y). Wie sieht das für andere Funktionen aus? Gilt zum Beispiel auch sin(x+y)=sin(x)+sin(y)? Die zugehörigen Berechnungsformeln, die in diesem Treffen auf geometrischer Basis hergeleitet werden sollen, heißen Additionstheoreme. Nach der Herleitung der Additionstheoreme soll ein Ausblick auf mögliche Anwendungen erfolgen.

 

 

Mathezirkel-Treffen des Wintersemesters 2016/17

Kennenlernrunde und Mathe-Quiz (25.10.2016)

Du lernst die anderen Teilnehmer/innen des Mathezirkels kennen und testest dein logisches Denkvermögen an den Denksport- und Knobelaufgaben unseres neuen Mathe-Quiz. 

 

(Hinweis: Es handelt sich um ein anderes Quiz als im letzten Semester.)

Abzählbar, überabzählbar und unendlich (08.11.2016)


Kann man die Elemente einer unendlichen Menge durchnummerieren, so nennt man die Menge abzählbar.
Ist dieses nicht möglich, so nennt man die Menge überabzählbar. Die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen sind abzählbar, aber auch die rationalen Zahlen sind abzählbar. Wir zeigen dieses, und wir werden auch mit einem Widerspruchsbeweis zeigen, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind. Dann werden wir
einige Probleme mit abzählbaren Mengen betrachten.

Wie funktioniert ein Mathestudium? - Campusführung (15.11.2016)

Wie studiert man Mathematik (oder Technomathematik), und wie läuft ein Studium überhaupt ab?

In einem Vortrag erfahren wir, welche Vorlesungen man in den ersten zwei Jahren des Bachelorstudiums der Mathematik (und Technomathematik) hören muss, lernen den Uni-Alltag mit Vorlesungen sowie Tutorien mit Präsenz- und Hausübungen kennen und erfahren, wie wichtig das Selbststudium zum Nacharbeiten der Vorlesungen und Lösen der Hausübungen ist. Natürlich können während des Vortrags jederzeit Fragen gestellt werden.

– Im zweiten Teil des Treffens besichtigen wir den Campus der Universität Paderborn.

Verschiedene Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen (22.11.2016)

Die Berechnung einer Nullstelle für eine Funktion f, d.h. eines x mit f(x)=0, ist ein sehr häufig auftretendes Problem in der Mathematik, aber auch bei vielen Anwendungen.
Wir lernen verschiedene Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle kennen und analysieren diese bezüglich ihrer Funktionsweise, um die Vor- sowie Nachteile der Ansätze zu erkennen. Dabei spielt auch eine Betrachtung des Aufwands zur Berechnung einer Nullstelle eine wichtige Rolle.

Magische Quadrate (29.11.2016)

In diesem Mathezirkel-Treffen wollen wir uns mit "magischen Quadraten" beschäftigen: Quadraten, in denen Zahlen so angeordnet sind, dass die Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und auf jeder der Diagonalen dieselbe Summe ergeben.

Wettbewerbsaufgaben (06.12.2016)

Wir lösen gemeinsam Wettbewerbsaufgaben der ersten Runde eines früheren Bundeswettbewerbs Mathematik. 

Fraktale Mengen (13.12.2016)

Anhand einfacher Beispiele werden fraktale Strukturen untersucht.

Weihnachtstreffen (20.12.2016)

Angefangen mit besonderen Schneeflocken und dem Haus des Nikolaus schauen wir uns mehrere weihnachtliche Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik an.

Dass für weihnachtliches Gebäck gesorgt ist, versteht sich von selbst.

Inhalte geometrischer Figuren (10.01.2017)

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Höhe mal Breite.

Wie gelangt man hiervon zu den Flächeninhalten allgemeiner ebener Figuren, und wie kann man Flächeninhalte berechnen?

Probevorlesung: Pythagoräische Tripel (17.01.2017)

Pythagoräische Tripel kommen in der Geometrie als die Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken vor, deren Seitenlängen alle ganzzahlig sind. Einfache Beispiele sind (3,4,5) und (5,12,13), wie man an den Identitäten 9+16=25 und 25+144=169 sieht. 

In dieser Vorlesung wird erklärt, wie man eine unendliche Liste von pythagoräischen Tripeln erstellen kann und wie man zeigt, dass diese Liste vollständig ist.

Das Extremalprinzip (24.01.2017)

Das Extremalprinzip ist eine Strategie zur Lösung mathematischer Probleme, insbesondere Probleme, die sehr komplex aussehen und keinen richtigen Lösungsansatz erkennen lassen. Die Strategie ist: Wenn möglich, ordne die Elemente des Problems, betrachte ein "größtes" oder ein "kleinstes" Element und versuche daraus interessante Information zu extrahieren. Das sieht zwar banal aus, funktioniert aber trotzdem oft auf wundersame Weise. Wir werden uns die Mächtigkeit des Prinzips anhand einiger Beispiele verdeutlichen.

Besonderen Körpern auf der Spur (31.01.2017)

In der Natur kommen zahlreiche Objekten vor, die sich mathematisch als Polyeder beschreiben lassen. Dabei handelt es sich um spezielle Körper, deren Oberflächen aus ebenen Vielecken zusammengesetzt sind. Darunter fallen beispielsweise makroskopische Objekte wie Pyramiden oder Kristalle, aber auch mikroskopische, wie zum Beispiel Moleküle.

Besondere Regelmäßigkeiten von diesen Polyedern faszinierten schon den griechischen Philosophen Platon, der diejenigen Polyeder in seinen Werken ausführlich beschreibt, deren Oberfläche ausschließlich aus kongruenten, regelmäßigen Vielecken besteht.

Doch wie viele solcher Körper lasen sich tatsächlich konstruieren? Dieser Fragen wollen wir nachgehen und dabei die Euler'sche Polyederformel ausnutzen, um eine systematische Lösung des Problems zu erhalten.

Kegelschnitte (07.02.2017)

Zerschneidet man Kegel, entstehen an den Schnittkannten verschiedene Schnittkurven, die zum Teil bereits aus der Schule bekannt sind: Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Neben präzisen geometrischen Definitionen dieser Kurven sollen in dem Kurs insbesondere (nichtlineare) Gleichungen hergleitet werden, mit denen sich die Schnittkurven beschreiben lassen, wobei der Schwerpunkt zunächst auf Kreisen und Ellipsen liegen soll. Mit Hilfe der Gleichungen lassen sich wiederum Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang dieser Figuren herleiten.

Bei Interesse kann das Thema im Mathezirkel im Sommersemester mit Parabeln und Hyperbeln fortgesetzt werden.

Goldener Schnitt (14.02.2017)

Der goldene Schnitt ist ein spezielles Teilungsverhältnis, das in erstaunlicher Vielfalt in der Kunst, Architektur und Natur auftritt und besonders ästhetisch anmutet. Die Fibonacci-Zahlen dienen u.a. zur Beschreibung von Populationsentwicklungen. Wir werden mit diesen beiden mathematischen Objekte etwas herumspielen und einen erstaunlichen Zusammenhang zwischen ihnen herausarbeiten.

Mathezirkeltreffen des Sommersemesters 2016

Kennenlernrunde und Mathe-Quiz (19.04.2016)

Lernen Sie die anderen Teilnehmer des Mathezirkels kennen und testen Sie Ihr logisches Denkvermögen an den Denksport- und Knobelaufgaben des Mathe-Quiz.

Abstandsbegriffe (26.04.2016)

Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der Verbindungsgeraden dieser Punkte. Was ist aber, wenn man in einer Stadt mit einen rechteckigen Straßennetz lebt?
Dann ist die „Luftlinie“ ein schlechtes Maß für den zurückgelegten Weg.

Wir suchen einen neuen Abstandsbegriff, um hier Entfernungen zu beschreiben.

Dann lernen wir, was den Begriff eines Abstands (genauer einer „Metrik“) mathematisch ausmacht, und untersuchen weitere Beispiele für Abstandsbegriffe.

Warum ist √2 eigentlich irrational? (03.05.2016)

Nach den Brüchen, also den rationalen Zahlen, lernt man in der Schule die irrationalen Zahlen kennen, also z.B. √2, √3, e oder π. Warum lässt sich 2 eigentlich nicht als Bruch darstellen? – In diesem Treffen lernen wir, wie man beweist, dass 2 irrational ist. Dabei lernen wir die Beweistechnik des Widerspruchsbeweises kennen.
Wir führen dann für ähnliche irrationale Zahlen selber den Beweis, dass diese nicht rational sind.

Berufe für Mathematiker/innen und Techno- mathematiker/innen; Campusführung (10.05.2016)

Was macht ein/e Mathematiker/in oder Technomathematiker/in eigentlich nach dem Studium? Lernen Sie neben den klassischen Einsatzbereichen bei Banken und Versicherungen weitere spannende Berufsfelder für Mathematiker/innen und Technomathematiker/innen kennen.

Im zweiten Teil des Treffens besichtigen wir den Campus der Universität Paderborn.

Vektorräume: axiomatisch und exotisch (17.5.2016)

Auch, wenn Sie Vektorräume bereits aus der Schule kennen, sollten Sie zu diesem Mathezirkel-Treffen unbedingt kommen! Wir führen Vektorräume axiomatisch ein (dazu sind keinerlei Vorkenntnisse erforderlich) und werden sehen, dass diese sehr viel mehr sind als der aus der Oberstufe meist bekannte Rn. So können Mengen von Funktionen einen Vektorraum bilden, und die rellen Zahlen kann man mit einer anderen als der üblichen Addition und einer anderen als der üblichen skalaren Multiplikation versehen. Wir untersuchen viele exotische Beispiele daraufhin, ob es sich um einen Vektorraum handelt oder nicht.

Das Prinzip der vollständigen Induktion (24.05.2016)

Warum ist 2n>n2  für alle natürlichen Zahlen n mit n>5, und wie beweist man diese Aussage?
Warum ist die Summe 13+23+33+...+n3 dasselbe wie  (n(n+1)/2)2?    
-- Diese und weitere Gleichungen und Ungleichungen, die für alle natürlichen Zahlen ab einem gewissen n0 gelten, kann man mit dem Prizip der vollständigen Induktion zeigen.

Wir lernen dieses Prinzip kennen und nutzen es, um verschiedenste, teilweise überraschende Aussagen zu beweisen.

Probevorlesung: Teilbarkeitsregeln (31.05.2016, ausnahmsweise um 18 Uhr)

Es wird erklärt, wie die gängigen Teilbarkeitsregeln mit dem Dezimalsystem zusammenhängen und wie man neue Regeln finden kann (zum Beispiel für die Zahl 7).

Kombinatorik: Urnenmodelle und verblüffende Beispiele (7.6.2016)

Wenn Sie in der Schule Stochastik kennengelernt haben, dann sind Ihnen Urnenmodelle vermutlich bekannt. Aber woher kommen die verschiedenen Formeln für aus der Urne ziehen mit/ohne Zurücklegen und mit/ohne Berücksichtigung der Anordnung eigentlich? Wir werden diese beweisen und anschließend nutzen, um spannende Kombinatorik-Probleme zu lösen. Hier ist ein Beispiel für ein solches Problem: Ein Pizza-Lieferservice hat gerade 20 neue Aufträge bekommen, die er auf seine drei Auslieferer verteilen möchte. Dabei sollen der erste und der dritte Auslieferer jeweils sieben Aufträge bekommen und der zweite nur sechs. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Aufträge auf die drei Zulieferer zu verteilen?

Folgen reeller Zahlen (14.06.2016)

In diesem Mathezirkel-Treffen lernen wir Folgen reeller Zahlen und ihre grundlegenden Eigenschaften kennen: von unten bzw. oben beschränkt, (streng) monoton fallend oder (streng) monoton wachsend, sowie den Begriff der alternierenden Folge.
Folgen reeller Zahlen und der Begriff des Grenzwertes solcher Folgen  (siehe nächste Sitzung) sind die zentrale Grundlage für die Einführung der Ableitung und des Integrals.

Grenzwerte von Zahlenfolgen (21.06.2016)

In diesem Mathezirkel-Treffen lernen wir die für die Analysis zentralen Begriffe des Grenzwerts und der Konvergenz einer Folge reeller Zahlen kennen.


Auch wenn man an dem vorigen Mathezirkel-Treffen über "Folgen reeller Zahlen" nicht teilgenommen hat, kann man an dieser Sitzung erfolgreich teilnehmen. Es ist allerdings einfacher, wenn man Folgen reeller Zahlen bereits aus dem vorherigen Treffen kennt.  

Wettbewerbsaufgaben I (28.06.2016)

Wir lösen gemeinsam zwei Wettbewerbsaufgaben der ersten Runde eines früheren Bundeswettbewerbs Mathematik. 

Summen und Reihen (05.07.2016)

In diesem Mathezirkel-Treffen betrachten wir endliche Summen und unendliche Summen (Reihen). Zunächst lernen wir die Summenschreibweise kennen und die zugehörigen Rechenregeln. Wir beweisen diese Rechenregeln und nutzen sie, um die arithmetische Summe und die geometrische Summe zu berechnen. Dann werden wir einfache Reihen untersuchen:
Warum kann man der unendlichen Summe über 1/k mit k∈ℕ keinen endlichen Wert zuweisen, aber warum hat die unendliche Summe über (1/2)^k mit k∈ℕ dagegen einen endlichen Wert?  

Wettbewerbsaufgaben II (12.07.2016)

Wir lösen gemeinsam zwei Wettbewerbsaufgaben der ersten Runde eines früheren Bundeswettbewerbs Mathematik.

(Natürlich handelt es sich um andere Aufgaben als in der Sitzung vom 28.06.) 

Die Universität der Informationsgesellschaft