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Mathezirkel-Treffen des Wintersemesters 2015/16

Kreise und Ellipsen

Kreise mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung werden durch Streckungen längs der Koordinatenachsen in Ellipsen überführt. Verwendet man Scherungen statt Streckungen, dann erhält man ebenfalls Ellipsen; ihre Achsen sind aber nicht mehr parallel zu den Koordinatenachsen.
Mit der sogenannten Gärtnerkonstruktion definieren wir Ellipsen ohne jegliche Verwendung von Koordinaten mit Hilfe der Abstände der Ellipsenpunkte von gegebenen Brennpunkten. Mit dieser Definition sind die obigen Sätze nicht offensichtlich. Wie beweist man sie? Der Satz über die Hauptachsentransformation liegt einer allgemeinen Antwort zugrunde. Dieser Satz wird für die ebene Geometrie formuliert und illustriert.

Kreuz und quer

"Kreuz und quer" ist ein Spiel für zwei Spieler, die abwechselnd Punkte miteinander verbinden, ohne dass die Linien sich kreuzen, und die versuchen, die letzte mögliche Verbindungslinie zu ziehen.

Kann man dem Spielfeld bereits zu Beginn ansehen, welcher Spieler gewinnen wird?

Wir wollen unter anderem diese Frage näher untersuchen - und schließlich unsere Antwort möglichst stichhaltig begründen ("beweisen").

Möglicherweise werden wir auf einen Zusammenhang zur "Eulerschen Polyederformel" stoßen.

Komplexe Zahlen

Was sind die Lösungen von x^2 = -1 und x^2 + 4 = 0? In den reellen Zahlen haben diese Gleichungen keine Lösung. Daher erweitert man den Zahlbegriff und führt mit Hilfe der imaginären Einheit i, definiert durch i^2 = -1, die komplexen Zahlen ein. Geometrisch kann man sich die komplexen Zahlen als Punkte in einer (x,y)-Ebene vorstellen; die reellen Zahlen liegen dann alle auf der x-Achse. Wir lernen, wie man komplexe Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Zum Abschluss zeigen wir, dass in den komplexen Zahlen jede quadratische Gleichung x^2 + a x + b = 0 nun (mit Vielfachheit gezählt) genau zwei komplexe Lösungen hat.

Quadratsummen

Wir nennen die Summe der Quadrate zweier ganzer Zahlen eine Quadratsumme.

Welche ganzen Zahlen sind Quadratsummen?

Das Redchnen mit komplexen Zahlen und die Benutzung von Kongruenzen (Rechnen modulo Rest) führt zu überraschenden Ergebnissen.

Die ungewöhnliche Aufhängung

Wie hängt man ein Bild so an mehreren Nägeln auf, dass es herunterfällt, wenn man nur einen davon - egal welchen - entfernt?

Diese Frage ist für Rätselfreunde deutlich interessanter als bei der Zimmergestaltung. Wir wollen sie nutzen, um uns dem mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zu nähern.

Kopf und Zahl
Das Brettspiel Solitär

Bei dem Brettspiel Solitär sind zu Anfang alle Löcher bis auf eines mit einem Stab belegt, und weitere Stäbe werden durch vertikales oder horizontales Überspringen des jeweiligen Stabes in ein Loch entfernt. Bleibt am Ende nur noch ein Stab übrig, so ist das Spiel gewonnen. Wo kann der letzte Stab bei einer erfolgreichen Partie stecken? Was passiert, wenn man die Position des zu Anfang freien Loches ändert? - Wir wollen dieses mathematisch mit elementarer Gruppentheorie untersuchen.

Springende Funktionen

Was unterscheidet eigentlich die folgenden beiden Funktionen?

Wir wollen versuchen, Definitionen für solche Eigenschaften zu entwickeln und sie an Beispielen rigoros nachzuweisen.

Venustransit

Was ist ein Winkel? Wir befassen uns mit der Trigonometrie in der Ebene und im Raum. Mit Daten des Transits der Venus vor der Sonne und mit einer Anwendung der Trigonometrie gewann man die erste genaue Angabe der Entfernung Erde-Sonne.

Zufällige Vererbung oder Einführung in die Theorie der Markov-Ketten

Ausgehend von einem einfachen mathematischen Modell aus der Genetik werden wir einige wesentliche Begriffe aus der Theorie der Markovketten diskutieren und erläutern.

Zwei Münzen

Was passiert eigentlich, wenn wir unsere Geldmünzen auf zwei Stück reduzieren, zum Beispiel auf 3-Cent und 5-Cent-Münzen? Welche Geldbeträge kann man damit zusammenstellen, bzw. welche nicht? Wir werden versuchen, diese Frage für beliebige Münzpaare zu beantworten und werden dabei ein faszinierendes und zugleich mächtiges Werkzeug benutzen, nämlich erzeugende Funktionen.

usw.

Viele mathematische Sätze sagen aus, dass etwas für n=1,2,3 und so weiter gilt. Es liegen in diesen Situationen also unendlich viele Behauptungen vor. Um diese in endlich vielen Schritten zu beweisen, benutzt man das Prinzip der vollständigen Induktion. Wie führt man einen Induktionsbeweis, und wie schreibt man ihn auf?

The University for the Information Society