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Themen der Mathezirkel-Treffen des Sommersemesters 2022

Mathezirkel-Treffen am 30. April 2022

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Merkwürdige Glücksspiele

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Ingrid und Toni spielen ein Würfelspiel mit vier unterschiedlichen Würfeln, die mit anderen als den üblichen Augenzahlen beschriftet sind: In jeder Runde darf sich Ingrid einen der vier Würfel aussuchen, und Toni sucht sich danach einen der verbleibenden drei Würfel aus. Danach wird gleichzeitig gewürfelt, und wer die höhere Augenzahl würfelt, gewinnt die Runde. Die beiden spielen 100 Runden, da sie wissen, dass bei Zufallsexperimenten eine große Anzahl an Versuchen benötigt wird. Wer wird mehr Runden gewinnen? Sollte Ingrid nicht mehr Runden gewinnen, wenn sie sich den „besten“ Würfel aussucht? Wir werden sehen, dass das bei diesen speziellen Würfeln nicht der Fall ist. Tatsächlich wird sogar Toni mehr Runden gewinnen, wenn er den zweiten Würfel passend aussucht. – Neben diesem „unfairen“ Würfelspiel untersuchen wir weitere merkwürdige Glücksspiele mit Würfeln, Glücksrädern und Münzwürfen, bei denen Dinge passieren, die unserer Intuition widersprechen.

Mathezirkel-Treffen am 21. Mai 2022

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Einführung in die Gruppentheorie

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Zum Einstieg in die Gruppentheorie betrachten wir die folgenden Bewegungen eines Roboters: er kann „still stehen“ (s), sich „nach rechts drehen“ (r), sich „nach links drehen“ (l) oder sich „um 180 drehen“ (b). Natürlich können auch mehrere dieser Bewegungen hintereinander ausgeführt werden, z.B. liefert sich „um 180 drehen“ und danach sich „nach links drehen“ die gleiche Endposition wie sich „nach rechts drehen“, also r = l * b. Mit diesen Bewegungen des Roboters haben wir auch schon unser erstes Beispiel einer Gruppe: G {s, r, l, b} mit der Gruppenoperation * für das hintereinander Ausführen zweier Bewegungen. – Nach diesem und einem weiteren anschaulichen Beispiel lernen wir die abstrakte Definition des mathematischen Begriffs einer Gruppe kennen. Wir untersuchen dann verschiedene Beispiele und beweisen auch einfache Eigenschaften einer Gruppe.

Mathezirkel-Treffen am 11. Juni 2022

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Rekursive Folgen

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Ein Beispiel für eine Folge reeller Zahlen ist die Folge der Quadratzahlen (n2)n>=1, also 1, 4, 9, .... Bei dieser Folge werden die Folgenglieder beliebig groß. Andere Folgen, wie z.B. (n/(n+1))n>=0, also 0, 1/2, 2/3, 3/4, ..., streben mit wachsendem n gegen einen festen Wert, den sogenannten Grenzwert (in diesem Beispiel 1). Wir lernen zunächst verschiedene Beispiele für Folgen kennen und entwickeln ein intuitives Verständnis für den Begriff des Grenzwertes einer Folge. Nach dieser Einführung beschäftigen wir uns mit rekursiven Folgen: Ein Beispiel für eine rekursive Folge ist die berühmte Fibonacci-Folge: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., bei der jedes Folgenglied als Summe der zwei vorhergehenden Folgenglieder „rekursiv“ berechnet wird. Es stellt sich die Frage, ob man eine Formel angeben kann, mit der sich die Folgenglieder direkt berechnen lassen. Die Antwort ist ja, und dieses geht mit der Formel von Moivre-Binet, allerdings ist diese nicht einfach zu beweisen. Wir untersuchen einfachere Beispiele rekursiver Folgen und finden eine nicht-rekursive Darstellung und bestimmen ggf. den Grenzwert.

Die Universität der Informationsgesellschaft