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Schwerpunktsvorlesungen Sommersemester 18

Stochastische Prozesse

Prof. Dr. Thomas Richthammer

Die Vorlesung "Stochastische Prozesse" gibt eine Einführung in zufallsbehaftete zeitstetige Vorgänge und hat ihren Schwerpunkt auf der sogenannten stochastischen Analysis. Zunächst wird der Wiener-Prozess als Modell für die Brownsche Bewegung eingeführt und untersucht, sowie wesentliche Verallgemeinerungen hiervon, wie Levy-Prozesse und Martingale in stetiger Zeit. Auf dieser Grundlage wird mit der Definition des sogeannten stochastischen Integrals ein Differentialkalkül eingeführt, mit dem sich stochastische Differentialgleichungen formulieren lassen. Zentrale Resultate der zugehörigen Lösungstheorie bilden den Abschluss der Vorlesung.

Resonanzen I (SoSe18)+II (WiSe 18/19)

JProf. Dr. Tobias Weich

Der Begriff von Resonanzen ist sowohl im Alltag als auch in Naturwissenschaft und Technik meistens mit Schwingungsphänomenen verknüpft. In der modernen mathematischen Literatur werden "Resonanzen" häufig als die Polstellen meromorph fortgesetzter Resolventen definiert.

Ziel dieser Vorlesung ist es die mathematische Sichtweise auf Resonanzen kennenzulernen. Zum Einen soll dabei verstanden werden,  inwiefern diese mathematische Sichtweise mit der phänomenologischen Sicht auf Resonanzen in Physikalisch/Naturwisschenschaflichen Kontexten verknüpft ist. Zum Anderen sollen die Studierenden erkennen, dass die Resonanzen auch aus rein mathematischer Sicht eine interessante spektrale Invarianten sind, die man geometrischen Objekten, oder dynamischen Systemen zuordnen kann.

Die Theorie soll zu Beginn rigoros in einfachen Situationen wie 1-dimensionaler Potentialstreuung und expansiven dynamischen Systemen entwickelt werden. Im weiteren Verlauf der Vorlesung sollen die Konzepte in Anspruchsvolleren Kontexten weiterentwickelt werden, die die Studierende direkt an aktuelle Forschungsthemen heranführen (Denkbar sind "Geometrische Streuung auf (asymptotisch) hyperbolischen Räumen" oder "Resonanzen hyperbolischer dynamischer Systeme").

Die Vorlesung eignen sich sehr gut als Grundlage für Abschlussarbeiten auf diesem Gebiet.

Als Voraussetzung für den ersten Teil sind solide Funktionalanalytische Grundlagen (Hilberträume Spektraltheorie Kompakter bzw Selbstadjungierter Operatoren) sowie solide Analysis Grundlagen (Insbesondere Kenntnis von Distributionen) notwendig. Hilfreiche Vorlesungen aus dem ersten Semester des Programms sind die Symplektische Geometrie, Partielle DGLs und Operatortheorie.

Für den zweiten Teil der Vorlesung in WiSe 18/19 wird die Vorlesung Mikrolokale Analysis notwendig sein. Außerdem sind dann auch Grundlagen aus der Vorlesung Differentialgeometrie hilfreich.

 

THE GEOMETRY OF CHARACTERS OF COMPACT, CONNECTED LIE GROUPS

Prof. Benjmamin Harris (USA)

The theory of Fourier series writes a smooth function f on the circle as an infinite sum of functions of the form an einθ for n ∈ Z. The functions einθ are the irreducible characters of the circle, and the Fourier coefficient an is obtained by integrating f against the conjugate of the corresponding character. More generally, it is natural to consider a compact subset X ⊂ Rn with a compact, transitive group of symmetries G. In this generality, there is a theory of Fourier series on X which is founded on an understanding of the irreducible characters of G. In this minicourse, we will discuss the characters of compact, connected Lie groups and their relationship with geometry.

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