Vor­le­sung mit Übung Al­ge­bra 1

Die Lehrveranstaltung gibt eine Einführung in die Gruppentheorie und die Ringtheorie, sowie einen kurzen Blick auf die Körpertheorie (welche in der weiterführenden Vorlesung Algebra 2 im kommenden Sommersemester vertieft werden kann).

Bei Gruppen handelt es sich um Strukturen, welche den Begriff der „Symmetrie“ in algebraischer Weise fassen. Symmetrien, welche man dabei vor Augen hat, können sehr mannigfaltig ausfallen. Neben offensichtlich „geometrischen Symmetrien“, wie Dreh- und Spiegelsymmetrien von Objekten in der Ebene und dem dreidimensionalen Anschauungsraum, interessiert man sich auch für Symmetrien mathematischer Strukturen, wie etwa Automorphismen von topologischen Räumen, Graphen, oder Vektorräumen. Aus der linearen Algebra kennt man schon diverse Gruppen, welche Symmetrien beschreiben: die generelle lineare Gruppe eines Vektorraums (Symmetrien des Vektorraums), die spezielle lineare Gruppe (volumentreue lineare Symmetrien), orthogonale Gruppen (winkeltreue Symmetrien), etc. Die Einführung in die Algebra ist bemüht, generelle Methoden zum Studium (vorwiegend endlicher) Gruppen zur Verfügung zu stellen. Themen sind etwa Homomorphie- und Isomorphiesätze, die Klassifikation endlicher abelscher Gruppen. Darüber hinaus besprechen wir Existenzsätze für gewisse Unterstrukturen (Sätze von Sylow), symmetrische Gruppen, sowie Anwendungen der entwickelten Theorie auf kombinatorische Zählprobleme (Satz von Pólya–Redfield).

Die Vorlesung liefert zusätzlich eine Einführung in die Ringtheorie. Neben der Behandlung gewisser Grundbegriffe für allgemeine Ringe, richtet sich der Fokus in weiterer Folge primär auf die Theorie der kommutativen Ringe. Dabei stehen Themen im Vordergrund, welche von zahlentheoretischem, oder kryptographischem Interesse sind. Diese beinhalten beispielsweise die Bestimmung der Struktur von der Ringe ℤ/nℤ und der Einheitengruppe und Teilbarkeitslehre in Integritätsbereichen und spezielleren Klassen von Ringen. Insbesondere letzteres legt den Grundstein für das Studium der Körpertheorie in der Vorlesung Algebra.

Zum Abschluss werden einige ausgewählte Themen mit zahlentheoretischem Bezug besprochen. Dies betrifft die Lösung einiger klassischer diophantischer Gleichungen mittels der entwickelten Faktorisierungstheorie, sowie die Besprechung berühmter Konstruktionsprobleme der Antike mit Zirkel und Lineal.

Dozent: Dr. Marc Technau

  • dienstags, 09:00 - 11:00 Uhr in D1 320
  • donnerstags, 14:00 - 16:00 Uhr in D1 320

Die Vorlesung beginnt am Montag, den 08.10.2024. 

PAUL:

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Übun­gen

Die Übungsgruppen starten ab Montag, den 11.10.2021. Dort werden Aufgaben in Kleingruppen bearbeitet und es gibt die Möglichkeit, Rückfragen zu stellen.

  • Übungsgruppe 1: Dienstags, 16:00-18:00 Uhr in E 2 304
  • Übungsgruppe 2: Mittwochs, 07:00-09:00 Uhr in A 3 301

Alle Studierenden sollten an einer Übung teilnehmen.

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PANDA:

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Übungs­be­trieb mit der Lern­platt­form PAN­DA

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Hin­wei­se zur Li­te­ra­tur

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Li­te­ra­tur

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