Vorlesung: Mathematische Quantenmechanik (Hinrichs)

Die Quantenmechanik stellt neben Einstein's Relativitätstheorie die wohl größte Revolution der theoretischen Physik des 20. Jahrhunderts dar. Aus mathematischer Sicht ging sie mit der Entwicklung der heute fundamentalen Techniken der Funktionalanalysis einher. In dieser Vorlesung wollen wir den Zusammenhang zwischen diesen mathematischen Methoden und der Beschreibung physikalischer Phänomene erarbeiten. Dabei werden keine Vorkenntnisse aus der Physik vorausgesetzt.

Als thematischen Einstieg vergleichen wir die Axiome der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik eines einzelnen Teilchens. Mit Hilfe der Hardy-Ungleichung werden wir in diesem Formalismus die Stabilität des Wasserstoff-Atoms beweisen. Anschließend lernen wir den abstrakteren Zusammenhang zwischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung, stark stetigen unitären Gruppen und selbstadjungierten Operatoren auf Hilberträumen kennen. Als Beispiel behandeln wir im Anschluss allgemeine Schrödingeroperatoren mit verschiedensten Potentialen, insbesondere bezogen auf Wohldefiniertheit als selbstadjungierter Operator, das zugehörige Eigenwertproblem und Eigenschaften von Eigenfunktionen.

Grundkenntnisse aus einer Funktionalanalysis-Vorlesung auf Bachelor-Niveau sollten vorhanden sein (Hilberträume und stetige Operatoren).

Vorlesung: Funktionalanalysis

Das Gebiet der Funktionalanalysis entstand zu Beginn des 20. Jahrhunderts aus dem Bedürfnis, den gemeinsamen Kern von Problemen aus verschiedenen Gebieten wie Schwingungs- und Elektrizitätslehre (Fourierreihen), Potentialtheorie, Quantentheorie und der Lösungstheorie von Differential- und Integralgleichungen herauszuarbeiten. Die zentrale Grundidee ist es, eine Klasse von Funktionen als Elemente eines Vektorraumes aufzufassen, welcher mit einer geeigneten Topologie ausgestattet wird.

Die Funktionalanalysis verbindet wohlbekannte Konzepte aus Linearer Algebra und Analysis zu einer gemeinsamen Theorie über unendlichdimensionale Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen.

In der Vorlesung werden folgende Themen behandelt:

• Banach- und Hilberträume und stetige lineare Operatoren
• grundlegende Sätze der Funktionalanalysis, wie Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, Satz vom abgeschlossenen Graphen
• Spektraltheorie linearer Operatoren auf Hilberträumen

Gastvorlesung: Quantenentropie und Spurungleichungen (Dr. Melchior Wirth)

In dieser Vorlesung werden zunächst die mathematischen Grundlagen (endlich-dimensionaler) Quantensysteme wie Quantenzustände, Quantenoperation usw. diskutiert. Ein erster Schwerpunkt sind die Darstellungssätze für Quantenoperationen von Stinespring, Choi und Kraus. Danach behandeln wir Funktionen von selbstadjungierten Matrizen und deren Monotonie und Konvexität, insbesondere den Satz von Löwner über operatormonotone Funktionen. Anschließend beschäftigen wir uns mit einigen Spurungleichungen wie Liebs Konkavitätssatz und Andos Konvexitätssatz. Diese führen unmittelbar zur Datenverarbeitungsungleichung für die relative Entropie und der Frage der Wiederherstellbarkeit von Quantenzuständen. Sollte dafür noch Zeit bleiben, werden wir am Ende der Vorlesung auf neuere Entwicklungen eingehen bezüglich Entropieungleichungen für die kontinuierliche Zeitentwicklung offener Quantensystem und deren Anwendungen für Dekohärenzzeitabschätzungen.

Seminar: Stochastische Methoden für Partielle Differentialgleichungen