Lehre
Wir bieten Vorlesungen zu Analysis, Mathematischer Physik und Stochastik an. Aktuell organisieren wir insbesondere den Masterschwerpunkt 'Mathematische Physik'. Außerdem betreuen wir Abschlussarbeiten in diesen Gebieten. Sprechen Sie uns bei Interesse gerne an!
Abschlussarbeiten
Gerne können Sie Ihre Bachelor- oder Masterarbeit in unserer Arbeitsgruppe schreiben. Bei Interesse wenden Sie sich gerne direkt an Benjamin Hinrichs.
Sommersemester 2024
Vorlesung: Mathematische Quantenmechanik (Hinrichs)
Die Quantenmechanik stellt neben Einstein's Relativitätstheorie die wohl größte Revolution der theoretischen Physik des 20. Jahrhunderts dar. Aus mathematischer Sicht ging sie mit der Entwicklung der heute fundamentalen Techniken der Funktionalanalysis einher. In dieser Vorlesung wollen wir den Zusammenhang zwischen diesen mathematischen Methoden und der Beschreibung physikalischer Phänomene erarbeiten. Dabei werden keine Vorkenntnisse aus der Physik vorausgesetzt.
Als thematischen Einstieg vergleichen wir die Axiome der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik eines einzelnen Teilchens. Mit Hilfe der Hardy-Ungleichung werden wir in diesem Formalismus die Stabilität des Wasserstoff-Atoms beweisen. Anschließend lernen wir den abstrakteren Zusammenhang zwischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung, stark stetigen unitären Gruppen und selbstadjungierten Operatoren auf Hilberträumen kennen. Als Beispiel behandeln wir im Anschluss allgemeine Schrödingeroperatoren mit verschiedensten Potentialen, insbesondere bezogen auf Wohldefiniertheit als selbstadjungierter Operator, das zugehörige Eigenwertproblem und Eigenschaften von Eigenfunktionen.
Grundkenntnisse aus einer Funktionalanalysis-Vorlesung auf Bachelor-Niveau sollten vorhanden sein (Hilberträume und stetige Operatoren).
Vergangene Semester
Vorlesung: Funktionalanalysis
Das Gebiet der Funktionalanalysis entstand zu Beginn des 20. Jahrhunderts aus dem Bedürfnis, den gemeinsamen Kern von Problemen aus verschiedenen Gebieten wie Schwingungs- und Elektrizitätslehre (Fourierreihen), Potentialtheorie, Quantentheorie und der Lösungstheorie von Differential- und Integralgleichungen herauszuarbeiten. Die zentrale Grundidee ist es, eine Klasse von Funktionen als Elemente eines Vektorraumes aufzufassen, welcher mit einer geeigneten Topologie ausgestattet wird.
Die Funktionalanalysis verbindet wohlbekannte Konzepte aus Linearer Algebra und Analysis zu einer gemeinsamen Theorie über unendlichdimensionale Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen.
In der Vorlesung werden folgende Themen behandelt:
- Banach- und Hilberträume und stetige lineare Operatoren
- grundlegende Sätze der Funktionalanalysis, wie Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, Satz vom abgeschlossenen Graphen
- Spektraltheorie linearer Operatoren auf Hilberträumen
Seminar: Stochastische Methoden für Partielle Differentialgleichungen