Imaginäre triquadratische Zahlkörper mit Exponent 1,3,5.
Der wissenschaftliche Inhalt steht in der Arbeit:
J. Klüners, T. Komatsu, Imaginary multiquadratic number fields of exponent 3 and 5
Exponent 1
Exponent 1 M3a
Die folgende Tabelle enthält alle imaginären biquadratischen Zahlkörper der Familie 3a mit Exponent 1.
Die Ergebnisse werden ohne Verwendung einer Vermutung bewiesen.
| Diskriminante | Faktorisierung | Erzeuger | Klassengruppe |
| 5308416 | 2^16 * 3^4 | -3, -4, -8 | C1 |
| 49787136 | 2^8 * 3^4 * 7^4 | -3, -4, -7 | C1 |
| 303595776 | 2^8 * 3^4 * 11^4 | -3, -4, -11 | C1 |
| 796594176 | 2^12 * 3^4 * 7^4 | -3, -7, -8 | C1 |
| 959512576 | 2^16 * 11^4 | -4, -8, -11 | C1 |
| 2702336256 | 2^8 * 3^4 * 19^4 | -3, -4, -19 | C1 |
| 80102584576 | 2^8 * 7^4 * 19^4 | -4, -7, -19 | C1 |
| 154550410641 | 3^4 * 11^4 * 19^4 | -3, -11, -19 | C1 |
Exponent 3 M3b
Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3b mit Exponent 5. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlkörper bewiesen.
| Diskriminante | Faktorisierung | Erzeuger | Klassengruppe |
| 1871773696 | 2^16 * 13^4 | -4, -8, 13 | C3 |
| 14166950625 | 3^4 * 5^4 * 23^4 | -3, -23, 5 | C3 |
| 14666178816 | 2^8 * 3^4 * 29^4 | -3, -4, 29 | C3 x C3 |
| 43237380096 | 2^12 * 3^4 * 19^4 | -3, -19, 8 | C3 |
| 44774560000 | 2^8 * 5^4 * 23^4 | -4, -23, 5 | C3 |
| 46352367616 | 2^16 * 29^4 | -4, -8, 29 | C3 |
| 234658861056 | 2^12 * 3^4 * 29^4 | -3, -8, 29 | C3 |
| 280883040256 | 2^12 * 7^4 * 13^4 | -7, -8, 13 | C3 |
| 419936400625 | 5^4 * 7^4 * 23^4 | -7, -23, 5 | C3 |
| 517110562816 | 2^16 * 53^4 | -4, -8, 53 | C3 x C3 |
| 716392960000 | 2^12 * 5^4 * 23^4 | -8, -23, 5 | C3 |
| 952857108736 | 2^8 * 13^4 * 19^4 | -4, -19, 13 | C3 |
| 3351129310881 | 3^4 * 11^4 * 41^4 | -3, -11, 41 | C3 |
| 4020249563136 | 2^12 * 3^4 * 59^4 | -3, -59, 8 | C3 x C3 |
| 6752430919936 | 2^8 * 13^4 * 31^4 | -4, -31, 13 | C3 |
| 7815289901056 | 2^12 * 11^4 * 19^4 | -11, -19, 8 | C3 |
| 8510429245696 | 2^8 * 7^4 * 61^4 | -4, -7, 61 | C3 x C3 |
| 8936757492481 | 7^4 * 13^4 * 19^4 | -7, -19, 13 | C3 |
| 15245713739776 | 2^12 * 13^4 * 19^4 | -8, -19, 13 | C3 x C3 |
| 43489065701376 | 2^12 * 3^4 * 107^4 | -3, -107, 8 | C3 x C3 x C3 |
| 63330416557681 | 7^4 * 13^4 * 31^4 | -7, -31, 13 | C3 |
| 108038894718976 | 2^12 * 13^4 * 31^4 | -8, -31, 13 | C3 x C3 |
| 373448513433856 | 2^8 * 7^4 * 157^4 | -4, -7, 157 | C3 x C3 |
| 443091722465536 | 2^8 * 31^4 * 37^4 | -4, -31, 37 | C3 x C3 |
| 565268503941376 | 2^8 * 23^4 * 53^4 | -4, -23, 53 | C3 x C3 x C3 |
| 726672516714496 | 2^12 * 11^4 * 59^4 | -11, -59, 8 | C3 x C3 |
| 1023381597392896 | 2^12 * 7^4 * 101^4 | -7, -8, 101 | C3 x C3 |
| 3437435741863201 | 13^4 * 19^4 * 31^4 | -19, -31, 13 | C3 x C3 |
| 6468184485400576 | 2^12 * 19^4 * 59^4 | -19, -59, 8 | C3 x C3 x C3 |
| 7860782851035136 | 2^12 * 11^4 * 107^4 | -11, -107, 8 | C3 x C3 |
| 9044296063062016 | 2^12 * 23^4 * 53^4 | -8, -23, 53 | C3 x C3 x C3 |
| 69969611497148416 | 2^12 * 19^4 * 107^4 | -19, -107, 8 | C3 x C3 x C3 |
| 6505835909336928256 | 2^12 * 59^4 * 107^4 | -59, -107, 8 | C3 x C3 x C3 x C3 |
Exponent 3
Exponent 3 M3a
Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3a mit Exponent 3. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlkörper nachgewiesen.
| Diskriminante | Faktorisierung | Erzeuger | Klassengruppe |
| 2847396321 | 3^4 * 7^4 * 11^4 | -3, -7, -11 | C3 |
| 8540717056 | 2^16 * 19^4 | -4, -8, -19 | C3 |
| 19150131456 | 2^8 * 3^4 * 31^4 | -3, -4, -31 | C3 |
| 54423757521 | 3^4 * 7^4 * 23^4 | -3, -7, -23 | C3 |
| 70892257536 | 2^8 * 3^4 * 43^4 | -3, -4, -43 | C3 |
| 251265597696 | 2^8 * 3^4 * 59^4 | -3, -4, -59 | C3 |
| 306402103296 | 2^12 * 3^4 * 31^4 | -3, -8, -31 | C3 x C3 |
| 417853645056 | 2^8 * 3^4 * 67^4 | -3, -4, -67 | C3 |
| 794123370496 | 2^16 * 59^4 | -4, -8, -59 | C3 x C3 |
| 984095744256 | 2^8 * 3^4 * 83^4 | -3, -4, -83 | C3 x C3 |
| 1048870932736 | 2^8 * 11^4 * 23^4 | -4, -11, -23 | C3 |
| 4054427900721 | 3^4 * 11^4 * 43^4 | -3, -11, -43 | C3 x C3 |
| 7740770386176 | 2^8 * 3^4 * 139^4 | -3, -4, -139 | C3 x C3 |
| 8590432731136 | 2^16 * 107^4 | -4, -8, -107 | C3 x C3 |
| 12813994352896 | 2^8 * 11^4 * 43^4 | -4, -11, -43 | C3 x C3 |
| 32464571577361 | 7^4 * 11^4 * 31^4 | -7, -11, -31 | C3 x C3 |
| 55383125856256 | 2^12 * 11^4 * 31^4 | -8, -11, -31 | C3 x C3 |
| 119168138285056 | 2^12 * 7^4 * 59^4 | -7, -8, -59 | C3 x C3 |
| 177878343106816 | 2^8 * 11^4 * 83^4 | -4, -11, -83 | C3 x C3 |
| 229451724656896 | 2^8 * 7^4 * 139^4 | -4, -7, -139 | C3 x C3 |
| 248906913382656 | 2^8 * 3^4 * 331^4 | -3, -4, -331 | C3 x C3 x C3 |
| 442705543843761 | 3^4 * 11^4 * 139^4 | -3, -11, -139 | C3 x C3 |
| 466728668041216 | 2^12 * 7^4 * 83^4 | -7, -8, -83 | C3 x C3 |
| 491298928189696 | 2^8 * 11^4 * 107^4 | -4, -11, -107 | C3 x C3 |
| 2350637069590161 | 3^4 * 11^4 * 211^4 | -3, -11, -211 | C3 x C3 |
| 3918727948865536 | 2^12 * 23^4 * 43^4 | -8, -23, -43 | C3 x C3 |
| 13142294978742801 | 3^4 * 43^4 * 83^4 | -3, -43, -83 | C3 x C3 x C3 |
Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3b mit Exponent 5. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlkörper bewiesen.
| Diskriminante | Faktorisierung | Erzeuger | Klassengruppe |
| 1871773696 | 2^16 * 13^4 | -4, -8, 13 | C3 |
| 14166950625 | 3^4 * 5^4 * 23^4 | -3, -23, 5 | C3 |
| 14666178816 | 2^8 * 3^4 * 29^4 | -3, -4, 29 | C3 x C3 |
| 43237380096 | 2^12 * 3^4 * 19^4 | -3, -19, 8 | C3 |
| 44774560000 | 2^8 * 5^4 * 23^4 | -4, -23, 5 | C3 |
| 46352367616 | 2^16 * 29^4 | -4, -8, 29 | C3 |
| 234658861056 | 2^12 * 3^4 * 29^4 | -3, -8, 29 | C3 |
| 280883040256 | 2^12 * 7^4 * 13^4 | -7, -8, 13 | C3 |
| 419936400625 | 5^4 * 7^4 * 23^4 | -7, -23, 5 | C3 |
| 517110562816 | 2^16 * 53^4 | -4, -8, 53 | C3 x C3 |
| 716392960000 | 2^12 * 5^4 * 23^4 | -8, -23, 5 | C3 |
| 952857108736 | 2^8 * 13^4 * 19^4 | -4, -19, 13 | C3 |
| 3351129310881 | 3^4 * 11^4 * 41^4 | -3, -11, 41 | C3 |
| 4020249563136 | 2^12 * 3^4 * 59^4 | -3, -59, 8 | C3 x C3 |
| 6752430919936 | 2^8 * 13^4 * 31^4 | -4, -31, 13 | C3 |
| 7815289901056 | 2^12 * 11^4 * 19^4 | -11, -19, 8 | C3 |
| 8510429245696 | 2^8 * 7^4 * 61^4 | -4, -7, 61 | C3 x C3 |
| 8936757492481 | 7^4 * 13^4 * 19^4 | -7, -19, 13 | C3 |
| 15245713739776 | 2^12 * 13^4 * 19^4 | -8, -19, 13 | C3 x C3 |
| 43489065701376 | 2^12 * 3^4 * 107^4 | -3, -107, 8 | C3 x C3 x C3 |
| 63330416557681 | 7^4 * 13^4 * 31^4 | -7, -31, 13 | C3 |
| 108038894718976 | 2^12 * 13^4 * 31^4 | -8, -31, 13 | C3 x C3 |
| 373448513433856 | 2^8 * 7^4 * 157^4 | -4, -7, 157 | C3 x C3 |
| 443091722465536 | 2^8 * 31^4 * 37^4 | -4, -31, 37 | C3 x C3 |
| 565268503941376 | 2^8 * 23^4 * 53^4 | -4, -23, 53 | C3 x C3 x C3 |
| 726672516714496 | 2^12 * 11^4 * 59^4 | -11, -59, 8 | C3 x C3 |
| 1023381597392896 | 2^12 * 7^4 * 101^4 | -7, -8, 101 | C3 x C3 |
| 3437435741863201 | 13^4 * 19^4 * 31^4 | -19, -31, 13 | C3 x C3 |
| 6468184485400576 | 2^12 * 19^4 * 59^4 | -19, -59, 8 | C3 x C3 x C3 |
| 7860782851035136 | 2^12 * 11^4 * 107^4 | -11, -107, 8 | C3 x C3 |
| 9044296063062016 | 2^12 * 23^4 * 53^4 | -8, -23, 53 | C3 x C3 x C3 |
| 69969611497148416 | 2^12 * 19^4 * 107^4 | -19, -107, 8 | C3 x C3 x C3 |
| 6505835909336928256 | 2^12 * 59^4 * 107^4 | -59, -107, 8 | C3 x C3 x C3 x C3 |
Exponent 5
Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3a mit Exponent 5. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlenkörper bewiesen.
| Diskriminante | Faktorisierung | Erzeuger | Klassengruppe |
| 224054542336 | 2^16 * 43^4 | -4, -8, -43 | C5 |
| 488455618816 | 2^8 * 11^4 * 19^4 | -4, -11, -19 | C5 |
| 1281641353216 | 2^12 * 7^4 * 19^4 | -7, -8, -19 | C5 |
| 5394359275776 | 2^8 * 3^4 * 127^4 | -3, -4, -127 | C5 x C5 |
| 12922702073856 | 2^12 * 3^4 * 79^4 | -3, -8, -79 | C5 x C5 |
| 14637786276096 | 2^8 * 3^4 * 163^4 | -3, -4, -163 | C5 |
| 55059011870976 | 2^8 * 3^4 * 227^4 | -3, -4, -227 | C5 x C5 |
| 75528336015616 | 2^8 * 11^4 * 67^4 | -4, -11, -67 | C5 |
| 181016143442176 | 2^8 * 7^4 * 131^4 | -4, -7, -131 | C5 x C5 |
| 672285245399296 | 2^8 * 19^4 * 67^4 | -4, -19, -67 | C5 |
| 950162376687616 | 2^16 * 347^4 | -4, -8, -347 | C5 x C5 |
| 2604748421533696 | 2^12 * 19^4 * 47^4 | -8, -19, -47 | C5 x C5 |
| 3044300929433856 | 2^8 * 3^4 * 619^4 | -3, -4, -619 | C5 x C5 |
| 3108741460575921 | 3^4 * 19^4 * 131^4 | -3, -19, -131 | C5 x C5 |
| 3847891608453376 | 2^8 * 11^4 * 179^4 | -4, -11, -179 | C5 x C5 |
| 4727561352765696 | 2^8 * 3^4 * 691^4 | -3, -4, -691 | C5 x C5 |
| 12187508427908401 | 7^4 * 19^4 * 79^4 | -7, -19, -79 | C5 x C5 |
| 26112925926363136 | 2^12 * 7^4 * 227^4 | -7, -8, -227 | C5 x C5 |
| 54341122488606976 | 2^8 * 11^4 * 347^4 | -4, -11, -347 | C5 x C5 |
| 102823251817101201 | 3^4 * 47^4 * 127^4 | -3, -47, -127 | C5 x C5 x C5 |
| 923878543897348081 | 7^4 * 43^4 * 103^4 | -7, -43, -103 | C5 x C5 |
Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3b mit Exponent 5. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlkörper bewiesen.
| Diskriminante | Faktorisierung | Erzeuger | Klassengruppe |
| 16243247601 | 3^4 * 7^4 * 17^4 | -3, -7, 17 | C5 |
| 107049369856 | 2^8 * 11^4 * 13^4 | -4, -11, 13 | C5 |
| 122825015296 | 2^16 * 37^4 | -4, -8, 37 | C5 |
| 247033850625 | 3^4 * 5^4 * 47^4 | -3, -47, 5 | C5 |
| 1004006004001 | 7^4 * 11^4 * 13^4 | -7, -11, 13 | C5 |
| 1134276120576 | 2^12 * 3^4 * 43^4 | -3, -43, 8 | C5 |
| 2936017137361 | 7^4 * 11^4 * 17^4 | -7, -11, 17 | C5 |
| 7322571300625 | 5^4 * 7^4 * 47^4 | -7, -47, 5 | C5 |
| 12491983360000 | 2^12 * 5^4 * 47^4 | -8, -47, 5 | C5 |
| 13169822450625 | 3^4 * 5^4 * 127^4 | -3, -127, 5 | C5 x C5 |
| 29828735941761 | 3^4 * 19^4 * 41^4 | -3, -19, 41 | C5 |
| 35678353674496 | 2^8 * 13^4 * 47^4 | -4, -47, 13 | C5 x C5 |
| 41623142560000 | 2^8 * 5^4 * 127^4 | -4, -127, 5 | C5 x C5 |
| 42415313391616 | 2^12 * 11^4 * 29^4 | -8, -11, 29 | C5 |
| 98706291490816 | 2^16 * 197^4 | -4, -8, 197 | C5 x C5 |
| 136166867931136 | 2^12 * 7^4 * 61^4 | -7, -8, 61 | C5 |
| 334623934267441 | 7^4 * 13^4 * 47^4 | -7, -47, 13 | C5 x C5 |
| 390379551900625 | 5^4 * 7^4 * 127^4 | -7, -127, 5 | C5 x C5 |
| 2040495219329281 | 11^4 * 13^4 * 47^4 | -11, -47, 13 | C5 x C5 x C5 |
| 4810197031981056 | 2^12 * 3^4 * 347^4 | -3, -347, 8 | C5 x C5 |
| 17963217697171041 | 3^4 * 17^4 * 227^4 | -3, -227, 17 | C5 x C5 |
| 124309644679881441 | 3^4 * 11^4 * 569^4 | -3, -11, 569 | C5 x C5 |
| 607748470482582081 | 3^4 * 41^4 * 227^4 | -3, -227, 41 | C5 x C5 |
| 793389288712200625 | 5^4 * 47^4 * 127^4 | -47, -127, 5 | C5 x C5 x C5 |
| 864003980025204736 | 2^12 * 37^4 * 103^4 | -8, -103, 37 | C5 x C5 x C5 |
| 869457959817711616 | 2^12 * 11^4 * 347^4 | -11, -347, 8 | C5 x C5 |
| 2693876092569442561 | 11^4 * 29^4 * 127^4 | -11, -127, 29 | C5 x C5 x C5 x C5 |
| 3246907040793595201 | 11^4 * 17^4 * 227^4 | -11, -227, 17 | C5 x C5 |
| 203026005223874891776 | 2^12 * 43^4 * 347^4 | -43, -347, 8 | C5 x C5 x C5 |
| 977807264466179992321 | 19^4 * 41^4 * 227^4 | -19, -227, 41 | C5 x C5 x C5 |
C-Programme
Die folgenden zwei C-Programme können verwendet werden, um alle imaginärquadratischen Zahlkörper mit einem Exponenten kleiner oder gleich 8 und einer Diskriminantenschranke von 3.1·1020 zu berechnen.
Julia Programme
Die folgende Datei enthält den Julia-Code. Sie müssen Julia einschließlich des Hecke- und des Markdown-Pakets installieren. Die Funktion M1 berechnet die imaginärquadratischen Zahlkörper eines gegebenen Exponenten. Die Funktionen M2a, M2b, M3a und M3b berechnen die entsprechenden Familien.
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