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Forschungsinteressen

Mein Forschungsinteresse gilt ganz allgemein mathematischen Systemen mit Symmetrien. Unter den nachfolgenden Überschriften sind verschiedene laufende und abgeschlossene Projektgruppen zusammengefasst. Die Beschreibungen enthalten Verweise auf meine Publikationsliste

Resonanzen und Streutheorie für lokalsymmetrische Räume

Resonanzen dynamischer Systeme tauchen in zweierlei Form auf: Als Pole meromorpher Familien von Resolventenoperatoren und als Pole meromorpher Familien von Streumatrizen. Im Falle quantenmechanischer Systeme spricht man auch von Quantenresonanzen, für klassische Systeme sind sie auch als Pollicott-Ruelle-Resonanzen bekannt. Ich interessiere mich vor allem für Resonanzen, die von geodätischen Flüssen auf lokalsymmetrischen Räumen und ihren Quantisierungen kommen. Um solche Resonanzen zu untersuchen kann man Methoden der Harmonischen Analyse und der Darstellungstheorie, aber auch der mikrolokalen Analysis nutzen. Es gibt enge Bezüge zu Spurformeln und dynamischen Zetafunktionen.

[A56, A70, B23, D23, D25, D27, D28]

Quantenchaos

In diesem Gebiet geht es um die Frage, ob sich klassisch chaotisches Verhalten in Quantisierungen von klassischen dynamischen Systemen widerspiegelt. Dies ist nicht offensichtlich, weil sich die Beschreibungsweisen chaotischen Verhaltens im Klassischen (Sensitivität gegenüber Anfangsdaten) nicht auf den mathematischen Formalismus der Quantenmechanik (lineare Operatoren) übertragen lassen. Andererseits gibt es Hinweise (in speziellen Beispielen und numerischer Art), dass sich klassisches Chaos in den statistischen Eigenschaften der quantenmechanschen Spektren nederschlägt. Man untersucht in diesem Kontext Systeme, die sowohl klassisch als auch quantenmechanisch gut verstanden sind und chaotisches Verhalten zeigen. Paradebeispiel sind geodätische Flüsse, insbesondere auf lokal symmetrischen Räumen wie der modularen Fläche. Die benutzten Methoden kommen aus der Zahlentheorie (z.B. Zetafunktionen und Kettenbruchentwicklungen), der Differentialgeometrie (z.B. symplektische und Spektralgeometrie), der Theorie dynamischer Systeme (z.B. Markovzerlegungen, dynamische Lefschetzformeln), der statistischen Mechanik (z.B. Transferoperatoren), der Streutheorie (z.B. Resonanzen) und der harmonischen Analyse (z.B. Plancherelformeln und Spurformeln). Umgekehrt gab es Versuche, die in diesem Kontext zusammengeführten Methoden wieder auf originär mathematische Fragestellungen anzuwenden, z.B. Versuche von Connes und Deninger zur Riemann-Vermutung. Insbesondere ergeben sich immer wieder Querverbindungen zur Darstellungstheorie und zur harmonischen Analyse auf symmetrischen Räumen.

[A48, A50, A51, A52, A53, A54, A62, B15, B16, B17]

Harmonische Analyse auf symmetrischen (Super-)Räumen

A. Kausale Symmetrische Räume

Ursprünglich war die die Untersuchung sphärischer Funktionen auf geordneten symmetrischen Räumen motiviert durch ein Diagonalisierungsverfahren für die Bethe-Salpeter Gleichung aus der Streutheorie. Die sphärischen Funktionen liefern Charaktere für Algebren von invarianten Integralkernen mit Kausalitätsbedingungen. Inzwischen gibt es eine umfangreiche, in weiten Teilen zu Harish-Chandras Theorie für Riemannsche symmetrische Räume analoge Theorie. Insbesondere hat man für eine Reihe von Beispielen Integraldarstellungen und asymptotische Abschätzungen. Es ergeben interessante Fragen über Laplace Transformationen, positive Definitheit und Zusammenhänge mit unitären Darstellungen.

[A17, A23, A34, A37, A38, A40, A41, A42, A43, A44, B04, C04]

 

B. Symmetrische Superräume

Ein Teil von Harish-Chandras harmonischer Analsyse für Riemannsche symmetrische wurde auch schon auf symmetrische Superräume im Sinne von Zirnbauer übertragen. Dazu gehören insbesondere vorbereitende Sätze zur Invariantentheorie und zur Berezin-Integration sowie grundsätzliche Arbeiten zu singulären Superräumen.

[A58, A59, A63, A65, A67, A68]

 

C. Radon-Transformationen auf homogenen Räumen

Hier handelt es sich um spezielle Integraloperatoren, die durch Integration über geometrische Unterstrukturen vorgegebener homogener Räume beschrieben werden. Ziel sind dabei in der Regel Inversionsformeln.

[A47, A49, B06, B18]

 

D. Wiener-Hopf Operatoren

Ausgangspunkt für diesen Themenkreis war die Untersuchung von Integral- und Differentialgleichungen mit Kausalitäts und Symmetriebedingungen (z.B. Lorentzinvarianz). Man nutzt das Wechselspiel von Ordnung und Symmetrie aus, um Aussagen über die Lösung machen zu können. Ein Problem ist, eine Indextheorie für Wiener-Hopf (das sind Integral Operatoren, die kausale Strukturen der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit berücksichtigen) auf geordneten symmetrischen Räumen zu entwickeln. Dazu braucht man Strukturaussagen über die C*-Algebra aller Wiener-Hopf Operatoren. Diese ist der Quotient einer Gruppoid C*-Algebra, deren Struktur inzwischen gut verstanden ist. Die Frage nach dem Ideal, das man aus der Gruppoid C*-Algebra herausfaktorisieren muss, um die Wiener-Hopf Operatoren zu erhalten, führt in natürlicher Weise auf Probleme für Radon-Transformationen auf Lie-Gruppen.

[A27, A29, B08, C04]

 

 

Geometrische Realisierungen unitärer Darstellungen

A) Minimale Darstellungen

Die einfachste Weise unitäre Darstellungen geometrisch zu realisieren ist auf G-Mannigfaltigkeiten mit invariantem Maß die reguläre Darstellung auf den quadratintegrierbaren Funktionen (d.h. die Verschiebung im Argument) zu betrachten. Nicht alle Darstellungen lassen eine solche Realisierung, deren abgeleitete Darstellung dann durch Vektorfelder gegeben ist, zu. Die Ableitungen singulärer Darstellungen wirken zum Beispiel durch Differentialoperatoren höherer Ordnung. Ein Maß für die Singularität ist die Gelfand-Kirillov-Dimension, die bei minimalen Darstellungen minimal wird. 

[A57, A60, A61, A64, A66]

 

B) Höchste Gewichtsdarstellungen

Alle unitarisierbaren höchsten Gewichtsmoduln lassen analytische Fortsetzungen auf komplexe Halbgruppen zu. Die Methode der geometrischen Quantisierung liefert für solche Darstellungen mit eindimensionalem niedrigstem K-Typ eine geometrische Realisierung auf nilpotenten koadjungierten Bahnen. Für höher-dimensionale K-Typen gibt es bis heute keine einheitliche Konstruktion. Ziel dieser Projektreihe war es, möglichst viele singuläre höchste Gewichtsmoduln geometrisch zu realisieren (inklusive der Hilbertraumstruktur). Unter anderem treten hier Probleme für Jordan-Algebren und die positive Definitheit gewisser operatorwertiger reproduzierender Kerne auf.

[A15, A17, A20, A24, A32, A33, A35, A37, A42, A44, A45, B12, C04]

Hamiltonsche Wirkungen

Eine G-Mannigfaltigkeit M mit invarianter symplektischer Form heißt hamiltonsch, wenn die abgeleitete Wirkung sich zu einem Homomorphismus von der Lie-Algebra von G in die Poisson-Lie-Algebra von M liften lässt. In diesem Fall erhält man eine G-äquivariante Impulsabbildung von M in das Dual der Lie-Algebra von G. Für diverse Beispielklassen kann man zeigen, dass die Impulsabbildung Konvexitätseigenschaften hat, die zum Beispiel beim Nachweis von Konvergenzaussagen für Integraldarstellungen sphärischer Funktionen angewendet werden können. Andere Anwendungen von Impulsabbildungen findet man beim Studium von Erhaltungsgrößen der Flüsse von hamiltonschen Vektorfelder oder von Zerlegungsgesetzen von Darstellungen.

[A21, A22, A24, A31, A36, A57, A69, B07, B10, B16]

Geometrie kausaler Strukturen

Motiviert durch Fragestellungen aus der Kontrolltheorie und der Kosmologie untersucht man die Ordnungsstrukturen auf Mannigfaltigkeiten, die durch Integralkurven von Vektorfeldern, deren Richtungen durch Ungleichungen eingeschränkt werden (z.B. im Vorwärtslichtkegel einer Lorentzmetrik liegen) gegeben werden. In Gegenwart von zusätzlichen Symmetrien führt das auf die Untersuchung von Unterhalbgruppen Liescher Gruppen bzw. Kegeln in Lieschen Algebren. In diesem Kontext stößt man auf natürliche Struktur- und Klassifikationsfragen, deren Antworten sich wiederum in Kontrolltheorie und Lorentzgeometrie anwenden lassen.

[A01, A02, A03, A04, A05, A06, A07, A09, A10, A11, A12, A13, A14, A16, A18, A19, A25, A26, B01, B02, B03, B05, B09, B11, C01, C03, C04]

 

 

                        
					
				
Mathematikausbildung

In der Mathematikausbildung habe ich drei Interessensschwerpunkte.

1. Die Vernetzung des mathematischen Wissens aus den Anfängervorlesungen zu den unterschiedlichen mathematischen Disziplinen. Die Texte [C7, C8, C10] sind konkrete Vorschläge zur Begleitung und/oder Gestaltung von Lehrveranstaltungen in den ersten Studienjahren mit dem Ziel, die Querverbindungen zwischen den mathematischen Fächern deutlich zutage treten zu lassen.

2. Der Übergang von der Schule zur Hochschule. Das Buch [C6] ist der Versuch, Schülern und Lehrern realistische Informationen zum Inhalt und Verlauf eines Mathematikstudium  bereitzustellen und so Enttäuschungen und Überforderungen in der Anfangsphase des Studiums vermeiden zu helfen. In [C9] wurden die mathematischen Inhalte von [C6] nochmals aufgegriffen um daran insbesondere Lern- und Studientechniken zu erläutern, die spezifisch für das Mathematikstudium sind. Anja Panse entwickelt die in [C9] präsentierten Ansätze weiter und führt didaktische Begleitforschungen dazu durch.  

3. Die Ausbildung von Gymnasiallehrern. Die Vernetzung mathematischen Wissens aus dem Grundstudium ist insbesondere auch für Lehramtsstudierende von besonderer Bedeutung, da sie nur relativ wenige vertiefende Veranstaltungen besuchen. Daher richten sich die Bücher [C6, C7, C8, C9, C10] auch dezidiert an zukünftige Gymnasiallehrer. Ein besonderes Ziel ist die Rückbindung an die in den Schulen zu vermittelnden mathematischen Einsichten und Fertigkeiten. Es wird im Kontext sogenannter Schnittstellenaufgaben adressiert, die Max Hoffmann praktisch entwickelt und theoretisch untersucht.

Siehe auch [A28, B19, B20, B21, B22].

Die Universität der Informationsgesellschaft