Ima­gi­näre tri­qua­dra­ti­sche Zahl­kör­per mit Ex­po­nent 1,3,5.

Der wissenschaftliche Inhalt steht in der Arbeit:

J. Klüners, T. Komatsu, Imaginary multiquadratic number fields of exponent 3 and 5

Ex­po­nent 1

Die folgende Tabelle enthält alle imaginären biquadratischen Zahlkörper der Familie 3a mit Exponent 1.

Die Ergebnisse werden ohne Verwendung einer Vermutung bewiesen.

Diskriminante Faktorisierung Erzeuger Klassengruppe
5308416 2^16 * 3^4 -3, -4, -8 C1
49787136 2^8 * 3^4 * 7^4 -3, -4, -7 C1
303595776 2^8 * 3^4 * 11^4 -3, -4, -11 C1
796594176 2^12 * 3^4 * 7^4 -3, -7, -8 C1
959512576 2^16 * 11^4 -4, -8, -11 C1
2702336256 2^8 * 3^4 * 19^4 -3, -4, -19 C1
80102584576 2^8 * 7^4 * 19^4 -4, -7, -19 C1
154550410641 3^4 * 11^4 * 19^4 -3, -11, -19 C1

 

Die folgende Tabelle enthält alle imaginären biquadratischen Zahlkörper der Familie 3b mit Exponent 1. Die Ergebnisse werden ohne Verwendung einer Vermutung bewiesen.

Diskriminante Faktorisierung Erzeuger Klassengruppe
12960000 2^8 * 3^4 * 5^4 -3, -4, 5 C1
40960000 2^16 * 5^4 -4, -8, 5 C1
121550625 3^4 * 5^4 * 7^4 -3, -7, 5 C1
207360000 2^12 * 3^4 * 5^4 -3, -8, 5 C1
384160000 2^8 * 5^4 * 7^4 -4, -7, 5 C1
4857532416 2^12 * 3^4 * 11^4 -3, -11, 8 C1
6146560000 2^12 * 5^4 * 7^4 -7, -8, 5 C1
17555190016 2^8 * 7^4 * 13^4 -4, -7, 13 C1
99049307841 3^4 * 11^4 * 17^4 -3, -11, 17 C1

Ex­po­nent 3

Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3a mit Exponent 3. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlkörper nachgewiesen.

Diskriminante Faktorisierung Erzeuger Klassengruppe
2847396321 3^4 * 7^4 * 11^4 -3, -7, -11 C3
8540717056 2^16 * 19^4 -4, -8, -19 C3
19150131456 2^8 * 3^4 * 31^4 -3, -4, -31 C3
54423757521 3^4 * 7^4 * 23^4 -3, -7, -23 C3
70892257536 2^8 * 3^4 * 43^4 -3, -4, -43 C3
251265597696 2^8 * 3^4 * 59^4 -3, -4, -59 C3
306402103296 2^12 * 3^4 * 31^4 -3, -8, -31 C3 x C3
417853645056 2^8 * 3^4 * 67^4 -3, -4, -67 C3
794123370496 2^16 * 59^4 -4, -8, -59 C3 x C3
984095744256 2^8 * 3^4 * 83^4 -3, -4, -83 C3 x C3
1048870932736 2^8 * 11^4 * 23^4 -4, -11, -23 C3
4054427900721 3^4 * 11^4 * 43^4 -3, -11, -43 C3 x C3
7740770386176 2^8 * 3^4 * 139^4 -3, -4, -139 C3 x C3
8590432731136 2^16 * 107^4 -4, -8, -107 C3 x C3
12813994352896 2^8 * 11^4 * 43^4 -4, -11, -43 C3 x C3
32464571577361 7^4 * 11^4 * 31^4 -7, -11, -31 C3 x C3
55383125856256 2^12 * 11^4 * 31^4 -8, -11, -31 C3 x C3
119168138285056 2^12 * 7^4 * 59^4 -7, -8, -59 C3 x C3
177878343106816 2^8 * 11^4 * 83^4 -4, -11, -83 C3 x C3
229451724656896 2^8 * 7^4 * 139^4 -4, -7, -139 C3 x C3
248906913382656 2^8 * 3^4 * 331^4 -3, -4, -331 C3 x C3 x C3
442705543843761 3^4 * 11^4 * 139^4 -3, -11, -139 C3 x C3
466728668041216 2^12 * 7^4 * 83^4 -7, -8, -83 C3 x C3
491298928189696 2^8 * 11^4 * 107^4 -4, -11, -107 C3 x C3
2350637069590161 3^4 * 11^4 * 211^4 -3, -11, -211 C3 x C3
3918727948865536 2^12 * 23^4 * 43^4 -8, -23, -43 C3 x C3
13142294978742801 3^4 * 43^4 * 83^4 -3, -43, -83 C3 x C3 x C3

 

Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3b mit Exponent 5. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlkörper bewiesen.

Diskriminante Faktorisierung Erzeuger Klassengruppe
1871773696 2^16 * 13^4 -4, -8, 13 C3
14166950625 3^4 * 5^4 * 23^4 -3, -23, 5 C3
14666178816 2^8 * 3^4 * 29^4 -3, -4, 29 C3 x C3
43237380096 2^12 * 3^4 * 19^4 -3, -19, 8 C3
44774560000 2^8 * 5^4 * 23^4 -4, -23, 5 C3
46352367616 2^16 * 29^4 -4, -8, 29 C3
234658861056 2^12 * 3^4 * 29^4 -3, -8, 29 C3
280883040256 2^12 * 7^4 * 13^4 -7, -8, 13 C3
419936400625 5^4 * 7^4 * 23^4 -7, -23, 5 C3
517110562816 2^16 * 53^4 -4, -8, 53 C3 x C3
716392960000 2^12 * 5^4 * 23^4 -8, -23, 5 C3
952857108736 2^8 * 13^4 * 19^4 -4, -19, 13 C3
3351129310881 3^4 * 11^4 * 41^4 -3, -11, 41 C3
4020249563136 2^12 * 3^4 * 59^4 -3, -59, 8 C3 x C3
6752430919936 2^8 * 13^4 * 31^4 -4, -31, 13 C3
7815289901056 2^12 * 11^4 * 19^4 -11, -19, 8 C3
8510429245696 2^8 * 7^4 * 61^4 -4, -7, 61 C3 x C3
8936757492481 7^4 * 13^4 * 19^4 -7, -19, 13 C3
15245713739776 2^12 * 13^4 * 19^4 -8, -19, 13 C3 x C3
43489065701376 2^12 * 3^4 * 107^4 -3, -107, 8 C3 x C3 x C3
63330416557681 7^4 * 13^4 * 31^4 -7, -31, 13 C3
108038894718976 2^12 * 13^4 * 31^4 -8, -31, 13 C3 x C3
373448513433856 2^8 * 7^4 * 157^4 -4, -7, 157 C3 x C3
443091722465536 2^8 * 31^4 * 37^4 -4, -31, 37 C3 x C3
565268503941376 2^8 * 23^4 * 53^4 -4, -23, 53 C3 x C3 x C3
726672516714496 2^12 * 11^4 * 59^4 -11, -59, 8 C3 x C3
1023381597392896 2^12 * 7^4 * 101^4 -7, -8, 101 C3 x C3
3437435741863201 13^4 * 19^4 * 31^4 -19, -31, 13 C3 x C3
6468184485400576 2^12 * 19^4 * 59^4 -19, -59, 8 C3 x C3 x C3
7860782851035136 2^12 * 11^4 * 107^4 -11, -107, 8 C3 x C3
9044296063062016 2^12 * 23^4 * 53^4 -8, -23, 53 C3 x C3 x C3
69969611497148416 2^12 * 19^4 * 107^4 -19, -107, 8 C3 x C3 x C3
6505835909336928256 2^12 * 59^4 * 107^4 -59, -107, 8 C3 x C3 x C3 x C3

Ex­po­nent 5

Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3a mit Exponent 5. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlenkörper bewiesen.

Diskriminante Faktorisierung Erzeuger Klassengruppe
224054542336 2^16 * 43^4 -4, -8, -43 C5
488455618816 2^8 * 11^4 * 19^4 -4, -11, -19 C5
1281641353216 2^12 * 7^4 * 19^4 -7, -8, -19 C5
5394359275776 2^8 * 3^4 * 127^4 -3, -4, -127 C5 x C5
12922702073856 2^12 * 3^4 * 79^4 -3, -8, -79 C5 x C5
14637786276096 2^8 * 3^4 * 163^4 -3, -4, -163 C5
55059011870976 2^8 * 3^4 * 227^4 -3, -4, -227 C5 x C5
75528336015616 2^8 * 11^4 * 67^4 -4, -11, -67 C5
181016143442176 2^8 * 7^4 * 131^4 -4, -7, -131 C5 x C5
672285245399296 2^8 * 19^4 * 67^4 -4, -19, -67 C5
950162376687616 2^16 * 347^4 -4, -8, -347 C5 x C5
2604748421533696 2^12 * 19^4 * 47^4 -8, -19, -47 C5 x C5
3044300929433856 2^8 * 3^4 * 619^4 -3, -4, -619 C5 x C5
3108741460575921 3^4 * 19^4 * 131^4 -3, -19, -131 C5 x C5
3847891608453376 2^8 * 11^4 * 179^4 -4, -11, -179 C5 x C5
4727561352765696 2^8 * 3^4 * 691^4 -3, -4, -691 C5 x C5
12187508427908401 7^4 * 19^4 * 79^4 -7, -19, -79 C5 x C5
26112925926363136 2^12 * 7^4 * 227^4 -7, -8, -227 C5 x C5
54341122488606976 2^8 * 11^4 * 347^4 -4, -11, -347 C5 x C5
102823251817101201 3^4 * 47^4 * 127^4 -3, -47, -127 C5 x C5 x C5
923878543897348081 7^4 * 43^4 * 103^4 -7, -43, -103 C5 x C5

 

Die folgende Tabelle enthält alle imaginären triquadratischen Zahlkörper der Familie 3b mit Exponent 5. Die Ergebnisse werden unter Verwendung von ERH für imaginärquadratische Zahlkörper bewiesen.

Diskriminante Faktorisierung Erzeuger Klassengruppe
16243247601 3^4 * 7^4 * 17^4 -3, -7, 17 C5
107049369856 2^8 * 11^4 * 13^4 -4, -11, 13 C5
122825015296 2^16 * 37^4 -4, -8, 37 C5
247033850625 3^4 * 5^4 * 47^4 -3, -47, 5 C5
1004006004001 7^4 * 11^4 * 13^4 -7, -11, 13 C5
1134276120576 2^12 * 3^4 * 43^4 -3, -43, 8 C5
2936017137361 7^4 * 11^4 * 17^4 -7, -11, 17 C5
7322571300625 5^4 * 7^4 * 47^4 -7, -47, 5 C5
12491983360000 2^12 * 5^4 * 47^4 -8, -47, 5 C5
13169822450625 3^4 * 5^4 * 127^4 -3, -127, 5 C5 x C5
29828735941761 3^4 * 19^4 * 41^4 -3, -19, 41 C5
35678353674496 2^8 * 13^4 * 47^4 -4, -47, 13 C5 x C5
41623142560000 2^8 * 5^4 * 127^4 -4, -127, 5 C5 x C5
42415313391616 2^12 * 11^4 * 29^4 -8, -11, 29 C5
98706291490816 2^16 * 197^4 -4, -8, 197 C5 x C5
136166867931136 2^12 * 7^4 * 61^4 -7, -8, 61 C5
334623934267441 7^4 * 13^4 * 47^4 -7, -47, 13 C5 x C5
390379551900625 5^4 * 7^4 * 127^4 -7, -127, 5 C5 x C5
2040495219329281 11^4 * 13^4 * 47^4 -11, -47, 13 C5 x C5 x C5
4810197031981056 2^12 * 3^4 * 347^4 -3, -347, 8 C5 x C5
17963217697171041 3^4 * 17^4 * 227^4 -3, -227, 17 C5 x C5
124309644679881441 3^4 * 11^4 * 569^4 -3, -11, 569 C5 x C5
607748470482582081 3^4 * 41^4 * 227^4 -3, -227, 41 C5 x C5
793389288712200625 5^4 * 47^4 * 127^4 -47, -127, 5 C5 x C5 x C5
864003980025204736 2^12 * 37^4 * 103^4 -8, -103, 37 C5 x C5 x C5
869457959817711616 2^12 * 11^4 * 347^4 -11, -347, 8 C5 x C5
2693876092569442561 11^4 * 29^4 * 127^4 -11, -127, 29 C5 x C5 x C5 x C5
3246907040793595201 11^4 * 17^4 * 227^4 -11, -227, 17 C5 x C5
203026005223874891776 2^12 * 43^4 * 347^4 -43, -347, 8 C5 x C5 x C5
977807264466179992321 19^4 * 41^4 * 227^4 -19, -227, 41 C5 x C5 x C5
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C-Programme

Die folgenden zwei C-Programme können verwendet werden, um alle imaginärquadratischen Zahlkörper mit einem Exponenten kleiner oder gleich 8 und einer Diskriminantenschranke von 3.1·1020 zu berechnen.

Smallest Split fixed.c 

No small split.c

List of fields

Julia Programme

Die folgende Datei enthält den Julia-Code. Sie müssen Julia einschließlich des Hecke- und des Markdown-Pakets installieren. Die Funktion M1 berechnet die imaginärquadratischen Zahlkörper eines gegebenen Exponenten. Die Funktionen M2a, M2b, M3a und M3b berechnen die entsprechenden Familien.

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