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Spektraltheorie, SS 2016

Vorlesung:

Dienstag, 14-16 Uhr, A3.301
Donnerstag, 9-11 Uhr, A3.301

Übungen (T. Luks):

Freitag, 11-13 Uhr, A3.301

Es gibt wöchentlich ein Übungsblatt. Der Übungsbetrieb beginnt in der zweiten Vorlesungswoche.

Inhalt der Vorlesung:

Die Spektraltheorie ist ein zentrales Mittel zum Verständnis der Eigenschaften linearer Operatoren. Dabei wird die Spektraltheorie linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Räumen, die man bereits aus der Linearen Algebra kennt, ausgedehnt auf lineare Operatoren auf  Banach- und Hilberträumen. Wir werden insbesondere Spektralsätze und einen Funktionenkalkül für beschränkte normale Operatoren sowie für selbstadjungierte unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen kennenlernen und auch wichtige Beispielklassen studieren.

Die beschränkten linearen Operatoren auf einem Banach- bzw. Hilbertraum bilden eine Banach- bzw. C*-Algebra, und so steht ihre Spektraltheorie in engem Kontext zur Spektraltheorie in Banach- und C*-Algebren, die wir zunächst entwickeln werden. Im Mittelpunkt steht dabei die sogenannte Gelfand-Theorie kommutativer Banachalgebren, die auch in der harmonischen Analysis wichtig ist.

Weitere Themen, die wir - je nach Interessenlage der Hörer - behandlen werden, sind Operatorhalbgruppen (dies sind Verallgemeinerungen der Matrix-Exponentialfunktion mit einem unbeschränkten Operator statt einer Matrix als Erzeuger), sowie Grundlagen der Streutheorie.

Auf Wunsch kann die Vorlesung auch auf englisch gehalten werden.

Vorkenntnisse: 

Grundlagen der Funktionalanalysis im Umfang einer vierstündigen Vorlesung (Hilbertraummethoden oder Funktionalanalysis I).

Modulprüfung:

Mündliche Prüfung in den Semesterferien. Erforderlich zum Bestehen des Moduls ist die aktive Teilnahme am Übungsbetrieb.

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