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Vorlesung: Di, 9-11 und Fr, 11-13, A3.301

Übung: Mi, 16-18, A3.301

Es gibt wöchentlich ein Übungsblatt. Der Übungsbetrieb startet in der 2. Vorlesungswoche.

Inhalt:

Die Spektraltheorie ist ein wichtiges Mittel zum Verständnis der Eigenschaften linearer Operatoren. Dabei wird die Spektraltheorie linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Räumen, die man bereits aus der Linearen Algebra kennt, ausgedehnt auf lineare Operatoren auf  Banach- und Hilberträumen. Wir werden insbesondere Spektralsätze und einen Funktionenkalkül für beschränkte normale Operatoren sowie für selbstadjungierte unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen kennenlernen und auch wichtige Beispielklassen studieren.

Die stetigen linearen Operatoren auf einem Banach- bzw. Hilbertraum bilden eine Banach- bzw. C*-Algebra, und so steht ihre Spektraltheorie in engem Kontext zur Spektraltheorie in Banach- und C*-Algebren, die wir im ersten Teil der Vorlesung entwickeln werden. Im Mittelpunkt steht dabei die sogenannte Gelfand-Theorie kommutativer Banachalgebren, eine abstrakte Verion der klassische Fourieranalysis, die auch in der harmonischen Analysis von Bedeutung ist.

Ausserdem werden wir noch Operatorhalbgruppen behandeln, die zB für partielle Differentialgleichungen wichtig sind. Hier handelt es sich um Verallgemeinerungen der Matrix-Exponentialfunktion mit einem unbeschränkten Operator statt einer Matrix als Erzeuger.

Auf Wunsch kann die Vorlesung auch auf englisch gehalten werden.

Vorkenntnisse: 

Grundlagen der Funktionalanalysis im Umfang einer vierstündigen Vorlesung (Hilbertraummethoden oder Funktionalanalysis I).

Modulprüfung:

Mündliche Prüfung in den Semesterferien. Erforderlich zum Bestehen des Moduls ist die aktive Teilnahme am Übungsbetrieb.

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