Die Vorlesungen bieten eine elementare Einführung in die hyperbolische Ebene aus einer metrischen Perspektive.
Vorkenntnisse in Riemannscher Geometrie sind nicht erforderlich.

Themenschwerpunkte sind:

• Längenräume, die zugehörigen Metriken und konforme Deformationen
• Die hyperbolische Metrik, Geodäten und Isometrien
• Dreiecke, hyperbolische Trigonometrie und der Satz von Gauß-Bonnet
• Klassifikation von Isometrien und von Isometriegruppen

Bei dieser Vorlesung handelt es sich um eine kurze und leicht zu verstehende Einführung in das Thema Modulformen. Konkret werden Modulformen für SL(2,Z) und Kongruenzuntergruppen definiert, Beispiele in Form von Eisensteinreihen und der Ramanujan'schen Delta Funktion betrachtet und ein kurzer Überblick über die Struktur von Vektorräumen von Modulformen geboten. Als Anwendung stellen wir den Bezug zwischen Modulformen und dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange vor.

Ziel der Vorlesung ist es, einen Einblick in das faszinierende Zusammenspiel von diskreten Untergruppen und geometrischen Objekten zu geben. Als Motivation und Modellfall beginnen wir mit dem einfachsten Fall: diskreten Untergruppen im Rn. Anschließend werden wir verschiedene Klassen diskreter Untergruppen von SL(2,R) studieren und dabei starke Querverbindungen zu den beiden anderen Vorlesungen – der hyperbolischen Geometrie und den Modulformen – ziehen.