Der Mathematik Masterstudiengang in Paderborn zeichnet sich durch eine große Wahlfreiheit aus und sieht so gut wie keine Pflichtvorlesungen vor. Studierende im Masterschwerpunkt können ihr Studium individuell aus den unten stehenden Schwerpunktsvorlesungen sowie den weiteren Vorlesungen am Institut für Mathematik zusammenstellen. Selbstverständlich bauen die Vorlesungen im Masterschwerpunkt zum Teil aufeinander auf (Details, siehe unten).
Wintersemester 26/27
Inhalt: Wiederholung Mannigfaltigkeiten. Riemannsche Metriken, Isometrien, Volumenform. Kovariante Ableitungen, Geodätische, Exponentialabbildung, Vollständigkeit (Satz von Hopf-Rinow). Krümmung (Riemannsche, Ricci-, Skalar-, Schnitt-), Jacobifelder. Lokal-Global-Sätze (Cartan-Hadamard, Synge, Bonnet-Myers). Raumformen. Riemannsche Untermannigfaltigkeiten, Gauß-Codazzi- und Weingartenformel. Metrische Strukturen auf Liegruppen.
Voraussetzungen: Grundlagen aus dem Bachelorstudium, insb. Untermannigfaltigkeiten im $\R^n$. Grundkentnisse zu Mannigfaltigkeiten werden am Anfang der Vorlesung wiederholt bzw. ggf. kurz eingeführt.
Umfang: 4 Semesterwochenstunden Vorlesung, 2 Semesterwochenstunden Übung
Bereich: Analysis
Dozent: Christian Fleischhack
Inhalt: Allgemeine Lie-Gruppen und Lie-Algebren und deren Wirkungen auf Mannigfaltigkeiten. Einführung in die Strukturtheorie nilpotenter, auflösbarer und halbeinfacher Lie-Gruppen und Algebren mit einem Fokus auf kompakte Lie-Gruppen
Voraussetzungen: Grundlagen aus dem Bachelorstudium. Grundkenntnisse zu Mannigfaltigkeiten werden am Anfang der Vorlesung eingeführt. Wenn noch keine Kenntnisse abstrakter Mannigfaltigkeiten vorhanden sind, wird empfohlen, parallel die Vorlesung Riemannsche Geometrie zu belegen.
Umfang: 4 Semesterwochenstunden Vorlesung, 2 Semesterwochenstunden Übung
Bereich: Analysis
Dozent*in: Tobias Weich
Lorem ipsum
Inhalt: Zunächst allgemeine Einführung in die Theorie lokalkompakter Gruppen und einige Grundlagen über homogene Räume. Dann Fokus auf lokalkompakten abelschen Gruppen, insbesondere Satz von Plancherel und Pontryagin-Dualität.
Voraussetzungen: Grundlagen aus dem Bachelor-Studium. Kenntnisse zu kommutativen Banachalgebren (Gelfand-Theorie) sind hilfreich, werden aber nicht vorausgesetzt; die erforderlichen Grundlagen werden in der Vorlesung eingeführt.
Umfang: 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen
Bereich: Analysis
Dozentin: Margit Rösler
Sommersemester 2027
Inhalt: Strukturtheorie halbeinfacher Lie-Gruppen, Cartan-Zerlegung, Iwasawa-Zerlegung, Bruhat-Zerlegungen sowie deren geometrische und dynamische Implikationen.
Voraussetzungen: Lie-Gruppen 1
Umfang: 3 Semesterwochenstunden Vorlesung, 2 Semesterwochenstunden Übung
Bereich: Analysis
Dozent*in: Tobias Weich
Lorem ipsum
Inhalt: Funktionenräume auf Mannigfaltigkeiten, Differentialoperatoren, Laplace-Beltrami und Hodge-Laplace-Operator, Spektren von Differentialoperatoren, Hodge-Theorie.
Voraussetzungen: Riemannsche Geometrie, Grundkenntnisse der Funktionalanalysis (Hilberträume)
Umfang: Blockveranstaltung 5 ECTS
Bereich: Analysis
Dozent*in: Gastdozent*in N.N.
Lorem ipsum
Jahr 2
Die Verteilung der Lehrveranstaltungen im zweiten Studienjahr auf die genauen Semester wird in Rücksprache und angepasst an Interesse und Bedürfnisse der Studierenden während des ersten Studienjahrs vorgenommen. Geplante Veranstaltungen:
Lorem ipsum
Inhalt: Grundlagen der topologischen Dynamischen Systeme, Ergodentheorie, Hyperbolische Dynamik, Beispiele aus Geometrie (geodätische Flüsse in negativer Krümmung) und Lie Theorie
Voraussetzungen: Gute Kenntnis der Maß- und Integrationstheorie, sowie solide Kenntnis von Mannigfaltigkeiten. Kenntnis der Riemannschen Geometrie und Lie Theorie (Lie Gruppen 1+2) hilfreich für den zweiten Teil der Vorlesung, Kenntnislücken können aber ggf. auch während der Vorlesung geschlossen werden.
Umfang: 4 Semesterwochenstunden Vorlesung, 2 Semesterwochenstunden Übung
Bereich: Analysis
Dozent*in: Tobias Weich
Inhalt: Gruppenwirkungen, homogene Räume. Hauptfaserbündel, assoziierte Bündel. Zusammenhänge (fundamentale Vektorfelder, Horizontalräume, Zusammenhangsform). Reduktion und Erweiterung von Zusammenhängen. Kovariante Ableitungen. Lineare Zusammenhänge. Holonomie. $G$-Strukturen und Holoomieprinzip. Satz von Myers-Steenrod. Irreduzibilität und De-Rham-Zerlegung. Symmetrische Räume. Berger-Klassifikation.
Voraussetzungen: Grundlagen aus dem Bachelorstudium, zu Riemannschen Mannigfaltigkeiten und zu Liegruppen.
Umfang: 4 Semesterwochenstunden Vorlesung, 2 Semesterwochenstunden Übung
Bereich: Analysis
Dozent: Christian Fleischhack
tba
Dozent*in: Gastdozent*in N.N.