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Monday, 05.12.2022 | 16.15 Uhr - 18.15 Uhr | O1

Antrittsvorlesung Sina Ober-Blöbaum: Geometrische numerische Verfahren in der Simulation und optimalen Steuerung dynamischer Systeme

Titel: Geometrische numerische Verfahren in der Simulation und optimalen Steuerung dynamischer Systeme

Die Simulation und optimale Steuerung dynamischer Prozesse ist in allen modernen technologischen Wissenschaften von großer Bedeutung. Die steigende Komplexität der Anwendungsprobleme erfordert die Entwicklung zuverlässiger und effizienter numerischer Verfahren, um die wahre Lösung zu approximieren. Dabei ist es unerlässlich, charakteristische Eigenschaften wie z. B. die Geometrie des Systems miteinzubeziehen, um sowohl die Effizienz von Berechnungsverfahren als auch die Qualitat einer approximierten Lösung zu steigern.
 
Im ersten Teil des Vortrages werden geometrische Integratoren eingeführt. Dies sind strukturerhaltende Verfahren mit dem Ziel, das Verhalten eines dynamischen Systems möglichst realistisch wiederzugeben. Insbesondere werden bei der Verwendung strukturerhaltender Verfahren zur Simulation dynamischer Systeme bestimmte geometrische Eigenschaften des Systems an die numerische Lösung vererbt. Eine spezielle Klasse geometrischer Integratoren bilden sogenannte Variationsintegratoren, welche die symplektische Form und durch Symmetrien induzierte Impulsabbildungen erhalten und zudem ein exzellentes Langzeitenergieverhalten aufweisen. Ihre Konstruktion basiert auf einer diskreten variationellen Formulierung des dynamischen Systems, z. B. auf einer diskreten Version des Hamilton-Prinzips für konservative mechanische Systeme. 
Neben der Konstruktion und der Analyse von Variationsintegratoren hoher Ordnung, werden Erweiterungen dieser Integratoren für verschiedene Systemklassen, wie zum Beispiel Multiratensysteme und dissipative System, gegeben.
 
Im zweiten Teil des Vortrages wird demonstriert, wie Variationsintegratoren zur numerischen Lösung von Optimalsteuerungsgsproblemen eingesetzt werden können. Aufgrund der Symplektizität der Verfahren kann gezeigt werden, dass das Diskretisierungsverfahren der adjungierten Gleichungen wiederum symplektisch und von der gleichen Ordnung ist wie die Approximation der Zustandsgleichungen. Zudem wird gezeigt, wie Symmetrien im System ausgenutzt werden können, um Lösungsverfahren effizient zu gestalten. Insbesondre werden jüngste Resultate zu Zusammenhängen zwischen Symmetrien in dynamischen Systemen und Turnpike-Eigenschaften des Optimalsteuerungsproblem vorgestellt.

 

Title:
Geometric numerical integration in the simulation and optimal control of dynamical systems


The simulation and the optimal control of real physical processes is of crucial importance in all modern technological sciences. The increasing complexity of application problems requires the development of reliable and efficient numerical methods to approximate the analytical solution. To increase the efficiency of computational methods as well as the quality of an approximated solution, it is essential to account for characteristic properties of the system.
 
In the first part of the talk we introduce geometric integration methods.  These are structure-preserving methods with the aim of reproducing the behaviour of a dynamical system as realistically as possible. In particular, when using structure-preserving methods for simulating dynamical systems, certain geometric properties of the system are inherited from the numerical solution. A special class of geometric integrators are so-called variational integrators, which preserve the symplectic form and momentum maps induced by symmetries and also have an excellent long-term energy behaviour. Their construction is based on a discrete variational formulation of the dynamical system, e.g. on a discrete version of Hamilton’s principle for conservative mechanical systems. In addition to the design and analysis of high-order variation integrators, extensions of these integrators are given for different system classes, such as multirate systems and dissipative systems.
 
In the second part of the talk we will demonstrate how variational integrators can be used to numerically solve optimal control problems. Due to the symplectic nature of the methods, it can be shown that the discretization method of the adjoint equations is again symplectic and of the same order as the approximation of the state equations. In addition, it is shown how symmetries in the system can be exploited to make solution methods efficient. In particular, recent results on relationships between symmetries in dynamical systems and turnpike properties of the optimal control problem are presented.

 

The University for the Information Society