The Orbit Method (4+2)

Prof. Dr. Joachim Hilgert

The orbit method is a geometric approach to unitary representations of Lie groups. It gives a complete classification of the irreducible ones in the case of simply connected nilpotent as well as compact Lie groups. Moreover, it provides very useful guidance also for other families of groups, in particular simple ones. In this course will explain how to associate unitary representations to certain orbits of the group under the so-called coadjoint action and explain in which cases the list of representations constructed in
this way is complete.

Prerequisite for this course is a basic familiarity with Lie groups and their Lie algebras as well a some representation theoretic constructions (such as unitary induction). The latter will be provided for instance in the course "Representation Theory of Compact Groups" offered in WiSe 2016/17.

Reelle sphärische Räume I (4+0)

Prof. Dr. Bernhard Krötz

Allgemein: Sei G eine algebraische reell reduktive Gruppe, etwa G = GL(n,R), sowie H eine algebraische Untergruppe von G, typischerweise der Stabilisator eines Vektors v in einem Darstellungsraum V von G. Mit dem Datum (G,H) bilden wir den homogenen Raum Z = G/H. Beispiel: G = GL(n,R) und H ist der Stabilisator von e1 in dem Darstellungsraum V = Rⁿ. Dann: Z ≅ Rⁿ \ {0} als G-Raum. Weiter sei P eine minimale parabolische Untergruppe, z.B. die invertierbaren unteren Dreieckmatrizen in GL(n,R). Man nennt den homogenen Raum Z = G/H reell sphärisch, falls eine offene P-Bahn auf Z existiert. Klar: obiges Beispiel is reell sphärisch, denn Pe₁⊂Rⁿ \ {0} ist die offene Menge, welche durch nichtverschwindende erste Koordinate beschrieben wird.

Wir können eine reduktive Gruppe G' auch als homogenen Raum unter beidseitigen Symmetrien G = G' × G' auffassen: G' ≅ Z = G / diag(G'). Die Bahnstruktur der parabolischen Untergruppe P = P'×P' < G auf Z korrespondiert dann zur Bruhat-Zerlegung von G'; insbesondere ist Z = G / diag(G') reell sphärisch. Ein ähnliches Argument zeigt, daß jeder symmetrische Raum reell sphärisch ist. Die Klasse der reell sphärischen Räume ist jedoch erheblich größer, umfasst die der symmetrischen Räume weit.

Bis vor wenigen Jahren war es eingängige Auffassung, daß symmetrische Räume die maximal natürliche Verallgemeinerung von reell reduktiven Gruppen sind. Um so erstaunlicher war es, daß sich zentrale Resultate aus der Theorie der reduktiven Gruppen auf reell sphärische Raume übertragen ließen. Aber diese 'Übertragung' hat es in sich: vertraute Formulierungen bedürfen (radikaler) Änderung und Altherbekanntes braucht grundlegend neue Beweise. Das ist der Reiz!

Dieser Kurs ist eine steile Hinführung in die aktuelle Forschung betitelter Themen aus erster Hand. Sätze werden in der Regel für Beispiele bewiesen. Hilfreiche Vorkenntnisse: elementare Lie- und Darstellungstheorie fur Teil I, hohere Funktionalanalysis fur Teil II.

Teil I: Allgemeine Einfuhrung in die Geometrie reeller reduktiver Gruppen und assoziierter homogener Räume. Volumenwachstum auf homogenen Räumen. Reelle sphärische Raume: Multiplizitatenfreiheit fur endlich dimensionale Darstellungen, Bahnenendlichkeit, Lokaler Struktursatz (Struktur offener Bahnen), Polarzerlegung, Äquivariante Kompaktifizierungen.

Seminar Darstellungstheorie von SL(2,R) (S2)

Prof. Dr. Bernhard Krötz

In diesem Seminar dreht sich alles um eine Gruppe, und zwar SL(2,R), die reelle 2 × 2 Matrizen mit Determinante eins.

Das primäre Ziel dieses Seminars ist das Verstehen der Klassifkation 'aller' irreduzibler separabler Darstellungen von SL(2,R).

Literatur: Roger Howe und Enge Chye Tan: Non-Abelian Harmonic Analysis, Springer, Universitext, Kapitel I - III.

Commutative Harmonic Analysis (4+2)

Prof. Dr. Margit Rösler

After a general introduction into the theory of locally compact groups (including Haar measure, convolution and homogeneous spaces), we shall develop the analysis on locally compact abelian groups. This  includes classical Fourier series and Fourier analysis on R^d as special cases. We shall in particular discuss positive definite functions, the Plancherel theorem and Pontryagin duality.

The second part of the lecture will be devoted to the theory of Gelfand pairs, which are governed by commutative convolution algebras, and their spherical functions. As important basic examples, we shall discuss the analysis on spheres (spherical harmonics) and on hyperbolic spaces. If time permits, we shall also outline some aspects of infinite dimensional spherical analysis.
 

Evolution equations on symmetric spaces (Blockkurs)

Jean-Philippe Anker (Université d'Orléans, France)

In these lecture series, we will show how (spherical) harmonic analysis can be applied in order to solve invariant differential equations on symmetric spaces. More precisely, we will consider and study evolution equations, such as the heat equation, the wave equation or the Schrödinger equation, on noncompact Riemannian symmetric spaces, in particular on Euclidean and hyperbolic spaces.

Although we will try to be as self-contained as possible, some knowledge about Lie groups and homogeneous spaces will be welcome.

Period: June 19-29.
The lecture series starts with a talk in our Math Colloquium on June 19, 16:45.
See PAUL for the detailed schedule.

ECTS: 3