Resonanzen I (SoSe18)+II (WiSe 18/19)

JProf. Dr. Tobias Weich

Der Begriff von Resonanzen ist sowohl im Alltag als auch in Naturwissenschaft und Technik meistens mit Schwingungsphänomenen verknüpft. In der modernen mathematischen Literatur werden "Resonanzen" häufig als die Polstellen meromorph fortgesetzter Resolventen definiert.

Ziel dieser Vorlesung ist es die mathematische Sichtweise auf Resonanzen kennenzulernen. Zum Einen soll dabei verstanden werden,  inwiefern diese mathematische Sichtweise mit der phänenologischen Sicht auf Resonanzen in Physikalisch/Naturwisschenschaflichen Kontexten verknüpft ist. Zum Anderen sollen die Studierenden erkennen, dass die Resonanzen auch aus rein mathematischer Sicht eine interessante spektrale Invarianten sind, die man geometrischen Objekten, oder dynamischen Systemem zuordnen kann.

Die Theorie soll zu Beginn rigoros in einfachen Situationen wie 1-dimensionaler Potentialstreuung und expansiven dynamischen Systemen entwickelt werden. Im weiteren Verlauf der Vorlesung sollen die Konzepte in Anspruchsvolleneren Kontexten weiterentwickelt werden, die die Studierende direkt an aktuelle Forschungstehmen heranführen (Denkbar sind "Geometrische Streuung auf (assymptotisch) hyperbolischen Räumen" oder "Resonanzen hyperbolischer dynamischer Systeme").

Die Vorlesung eignen sich sehr gut als Grundlage für Abschlussarbeiten auf diesem Gebiet.

Als Voraussetzung für den ersten Teil sind solide Funktionalanalytische Grundlagen (Hilberträume Spektraltheorie Kompakter bzw Selbstadjungierter Operatoren) sowie solide Analysis Grundlagen (Insbesondere Kenntnis von Distributionen) notwendig. Hilfreiche Vorlesungen aus dem ersten Semester des Programms sind die Symplektische Geometrie, Partielle DGLs und Operatortheorie.

Für den zweiten Teil der Vorlesung in WiSe 18/19 wird die Vorlesung Mikrolokale Analysis notwendig sein. Außerdem sind dann auch Grundlagen aus der Vorlesung Differentialgeometrie hilfreich.