Mathezirkel-Treffen am 22. April 2023

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Als Einstieg führt uns die fortgesetzte Halbierung eines Quadrats der Seitenlänge 1 mit rein geometrischen Überlegungen auf 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1. Diese "unendliche Summe" ist unser erstes Beispiel für eine sogenannte "(unendliche) Reihe", und sie hat offenbar den Zahlenwert 1. Dabei ist es i.A. keineswegs klar, ob das Aufsummieren unendlich vieler Zahlen wie bei diesem Beispiel einen endlichen Wert liefert (also, mathematisch ausgedrückt, ob die Reihe "konvergiert")! Wir lernen intuitiv die Grundlagen über Reihen kennen, und wir untersuchen verschiedene einfache Reihen mit elementaren Mitteln darauf hin, ob sie konvergieren (also gegen einen Zahlenwert streben) oder nicht konvergieren (d.h. "divergieren"). – Es werden keine Kenntnisse über Folgen oder Reihen vorausgesetzt.

Mathezirkel-Treffen am 13. Mai 2023

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse der Seitenlänge c und Katheten der Seitenlängen a und b immer a² + b² = c² gilt. Für diesen Satz gibt es (mindestens) 365 Beweise! In diesem Mathezirkel-Treffen wirst du selbst einige dieser Beweise durchführen. Wir werden dabei sowohl rein geometrische Beweise als auch geometrisch motivierte algebraische Beweise herleiten. Weiter beweisen wir den Höhensatz und den Kathetensatz für rechtwinklige Dreiecke. – Alle benötigten Hilfsmittel aus der Trigonometrie (Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, die Sätze über ähnliche bzw. kongruente Dreiecke) werden zu Beginn des Workshops kurz wiederholt.

Mathezirkel-Treffen am 17. Juni 2023

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Einen Punkt x, in dem f(x) = x für eine Funktion f gilt, nennt man einen Fixpunkt der Funktion f (weil x von f auf sich selbst abgebildet wird, also "fix" bleibt). Z.B. hat f(x) = x³ zwei Fixpunkte, nämlich x = 1 und x = -1. Fixpunktgleichungen f(x) = x spielen an vielen Stellen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Z.B. hilft es manchmal, ein Nullstellenproblem f(x) = 0 in eine Fixpunktgleichung g(x) = x mit einer geeigneten Funktion g (die von f abhängt) umzuwandeln. Dieses ist natürlich nur dann von praktischem Interesse, wenn sich die Nullstelle bzw. der Fixpunkt nicht einfach berechnen lässt. – Bei dem numerischen Verfahren der Fixpunktiteration zur Bestimmung eines Fixpunkts z einer Funktion f werden ausgehend von einem Startwert x₀ mit x_n+1 = f(x_n), n = 0,1,2,..., nacheinander neue x-Werte berechnet. Es ist zunächst sehr überraschend, dass die Fixpunktiteration x_n+1 = f(x_n), n = 0,1,2,..., unter geeigneten Voraussetzungen an f und für einen hinreichend guten Startwert x₀ mit wachsendem n durch x_n+1 = f(x_n) immer bessere Näherungswerte für den Fixpunkt z liefert! Unter welchen Voraussetzungen das passiert, erklärt der Fixpunktsatz, der auch bewiesen wird. Wir wenden die Fixpunktiteration für verschiedene Beispiele an und untersuchen diese sowohl experimentell (Anwenden des Verfahrens) als aus theoretisch. – Die Programmierung der Fixpunktiteration erfolgt mit Excel-Tabellenkalkulation, d.h. du solltest Excel bzw. ein vergleichbares Programm zur Verfügung haben.