Mathezirkel-Treffen am 11. November 2023

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises, und die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises. Aber warum ist das eigentlich so, d.h. wie beweist man diese Sätze der Trigonometrie? Und wie beweist man den Satz des Thales für rechtwinklige Dreiecke? – Neben diesen oft aus der Schule bekannten Sätzen werden wir gemeinsam mit Anleitung auch noch weitere weniger bekannte Sätze der Trigonometrie beweisen, z.B. eine Verallgemeinerung des Satzes des Thales für beliebige Dreiecke oder die Flächengleichheit der Dreiecke in der Vecten-Figur. – Sinus und Cosinus werden in diesem Mathezirkel-Treffen nicht benötigt.

Mathezirkel-Treffen am 02. Dezember 2023

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: In dem Film die „Vermessung der Welt“ verblüfft Carl Friedrich Gauß als junger Schüler seinen Mathematiklehrer, indem er innerhalb weniger Minuten die Zahlen von 1 bis 100 mit einem Beweistrick berechnet, der direkt die Formel n(n+1)/2 für die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n liefert. Diese Formel ist ein typisches Beispiel für eine Aussage, die man einerseits mit dem Prinzip der vollständigen Induktion aber andererseits auch direkt (mit dem von Gauß verwendeten Trick) beweisen kann. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion (einer sehr wichtigen Beweistechnik) werden wir aber nicht nur Formeln für Summen, sondern auch Ungleichungen und Aussagen über Teilbarkeit beweisen. Mit vollständiger Induktion können wir sogar beweisen, dass sich alle natürlichen Zahlen n größer oder gleich 12 als Summe von Vieren und Fünfen darstellen lassen. Die meisten in diesem Mathezirkel-Treffen untersuchten Aussagen werden
wir nicht nur mit vollständiger Induktion, sondern auch mit einem direkten Beweis nachweisen.

Mathezirkel-Treffen am 27. Januar 2024

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Zwei ganze Zahlen a und b heißen „kongruent modulo n“, wenn die Division mit Rest durch n für beide Zahlen den gleichen Rest liefert. Beispielsweise sind 13 und 28 kongruent modulo 5, weil 13 = 2*5+3 und 28 = 5*5+3 gelten, also weil beide bei Division mit Rest durch 5 den Rest 3 haben. Wir werden lernen, dass man in geeigneten Kontexten „kongruent modulo n rechnen“ kann und dass man damit gewisse mathematisch sonst schwer beweisbare Aussagen sehr elegant beweisen kann. Beispielsweise kann man damit die alternierende Quersummenregel für Teilbarkeit durch 11 einfach beweisen, oder die Aussage, dass für jede ungerade natürliche Zahl n>2 die Zahl 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ... + (n-1)ⁿ durch n teilbar ist. Als Vorbereitung auf das kongruent modulo n Rechnen werden wir einfache Beweise im Kontext von Teilbarkeit, Division mit Rest und Kongruenz modulo n selber durchführen.