Mathezirkel-Treffen am 10. Mai 2025

Raum und Uhrzeit: virtuell/online mit der Videokonferenz-Software Zoom (Campus-Lizenz der Uni Paderborn) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Wie berechnet man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse auf dem Intervall [a,b]? Dabei sollen Anteile der Fläche oberhalb der x-Achse mit einem positiven Vorzeichen und Anteile der Fläche unterhalb der x-Achse mit einem negativen Vorzeichen eingehen. – In der Oberstufe lernt man, dass dieses mit Hilfe des Integrals (und konkreter mit einer Stammfunktion des Integranden) geht, aber für die Funktion f(x) = exp(x²) funktioniert das nicht, und man benötigt  sogenannte „numerische Integrationsverfahren“. – Wir beschäftigen uns in diesem Mathezirkel-Treffen mit numerischen Integrationsverfahren, mit denen die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse angenähert, aber (abgesehen von der durch Computer-Arithmetik begrenzten Genauigkeit) beliebig genau berechnet werden kann. Wir studieren die zusammengesetzte Trapezregel und die zusammengesetzte Simpsonregel und wenden diese an. Die numerischen Berechnungen führen wir mit Excel (oder einem vergleichbaren Tabellenkalkulationsprogramm) durch.

Mathezirkel-Treffen am 24. Mai 2025

Raum und Uhrzeit: virtuell/online mit der Videokonferenz-Software Zoom (Campus-Lizenz der Uni Paderborn) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer oder gleich 2, die als einzige positive Teiler nur die Zahl 1 und sich selbst hat. Wir beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, und wir untersuchen, wie diese sich verteilen. Weiter betrachten wir sogenannte Primzahlzwillinge: Zwei Primzahlen p₁ und p₂ heißen Primzahlzwillinge, wenn gilt p₂ = p₁ + 2. Obwohl es unendlich viele Primzahlen gibt, ist es immer noch unbekannt, ob es unendlich viele oder nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt! Dieses ist eine der großen offenen Fragen der Zahlentheorie. – In diesem Mathezirkel-Treffen führen wir mit Anleitung auch mehrere interessante Beweise grundlegender Aussagen über Primzahlen durch.

Mathezirkel-Treffen am 14. Juni 2025

Raum und Uhrzeit: virtuell/online mit der Videokonferenz-Software Zoom (Campus-Lizenz der Uni Paderborn) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Wir betrachten ein rechtwinkliges Quadratgitter, bei dem alle Punkte des Gitters jeweils den Abstand 1 zu den direkten Nachbarpunkten haben. Die Gitterpunkte sind also (m,n), wobei m, n ganze Zahlen sind. Wie berechnet man den Flächeninhalt A eines Vielecks, dessen Eckpunkte Gitterpunkte sind? Der Satz von Pick besagt, dass dieses mit der Formel A = i + (1/2)*r - 1 geht, wobei i die Anzahl der Gitterpunkte im Innern des Vielecks und r die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Vielecks ist! Man muss zur Flächenberechnung also bloß Gitterpunkte zählen können. – Wieso gilt dieser überraschende Satz, und wie beweist man ihn? Wir werden uns dem Beweis schrittweise nähern, indem wir den Satz von Pick zunächst für Rechtecke und rechtwinklige achsenparallele Dreiecke, jeweils mit Eckpunkten in Gitterpunkten, beweisen. Eine Erweiterung auf den Fall beliebiger Dreiecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten und die Additivität/Subtraktivität der Flächenberechnung liefert darauf aufbauend den Beweis für beliebige Vielecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten.