Du lernst die anderen Teilnehmer/innen des Mathezirkels kennen und testest deine mathematischen Fähigkeiten an spannenden mathematischen Spielereien.

Ein aus der Schule wohlbekanntes Beispiel einer Funktion ist die Geradengleichung f(x) = ax+b mit a, b festen reellen Zahlen. Aber f(n) = n²+ 1/n mit n in den natürlichen Zahlen ist ebenfalls eine Funktion. Wir können viele Vorgänge im täglichen Leben durch Funktionen beschreiben: So ist z.B. der Spielstand in einem Fußballspiel eine Funktion der Zeit, und die Temperatur innerhalb und außerhalb der verschiedenen Gebäude des Campus der Universität Paderborn ist eine Funktion der Zeit und des Ortes. Was macht mathematisch eine Funktion aus? Wir lernen die Beschreibung einer Funktion mit Definitionsmenge, Zielmenge, Bildmenge und Funktionsvorschrift kennen und untersuchen grundlegende Eigenschaften von Funktionen an verschiedenen Beispielen.

Die Umkehrfunktion der Funktion f(x) = ax+b mit a, b festen reellen Zahlen, wobei a ungleich 0 ist, ist die Funktion f^-1(y) = (y-b)/a. Haben der Sinus und der Cosinus (als Kreisfunktionen) auch eine Umkehrfunktion? Was muss eigentlich gelten, damit eine Funktion eine Umkehrfunktion hat? Und was ist der genaue Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion? In diesem Kontext lernen wir die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv kennen; erst mit diesen können wir sauber beschreiben, wann eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Wir üben den Umgang mit diesen Begriffen an vielen Beispielen.

In diesem Mathezirkel-Treffen lösen wir spannende Wettbewerbsaufgaben aus den Bereichen Geometrie und Zahlentheorie.

Permutationen beschreiben die Anordnung einer endlichen Menge von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Mit Hilfe der uralten chinesischen Geisterfußlotterie werden wir die Menge der Permutationen auf ihre Eigenschaften untersuchen.

In dieser Sitzung des Mathezirkels werden wir uns durch Falten von Papier selber interessante Probleme erzeugen, die es dann unter Verwendung von Mathematik zu lösen gilt. Insbesondere werden wir uns mit dem historisch bedeutsamen Problem der Drittelung eines Winkels beschäftigen. Es werden Probleme verschiedener Schwierigkeitsgrade bereitgestellt, so dass jede und jeder etwas zum Knobeln hat.

Durch Störungen des Rechnens („geht nicht“) und den Drang nach Freiheit des formalen Rechnens kommt es zu Erweiterungen des Zahlbegriffs und der bis dahin bekannten Rechen-Welt der Zahlen. Das Rechnen mit den neuen Zahlen soll möglichst ausnahmslos nach denselben Regeln erfolgen wie mit den alten. Welche Konsequenzen und welche Grenzen dieses Permanenzprinzip hat, kann man am Beispiel der Erweiterung des Potenzbegriffs gut verfolgen.

Proportionales Wachstum kann man durch folgende Eigenschaft charakterisieren: Der Messwert wächst oder fällt in gleichen Zeitabständen proportional zum jeweiligen Bestand. Das Besondere an der Betrachtung von Funktionen, die solches Wachstum beschreiben, ist allerdings, dass wir nicht von einer Funktionsvorschrift ausgehen, sondern dass wir aus dieser Eigenschaft die Funktionsvorschrift herleiten.

Es gibt unendlich viele reelle Zahlen. Es gibt auch unendlich viele Brüche. Kann man trotzdem angeben, wie viel Prozent aller Zahlen Brüche sind, bzw. dieser Frage überhaupt erst Sinn geben?

Für lineare Funktionen der Form f(x)=ax lässt sich der Funktionswert der Summe f(x+y) einfach berechnen, nämlich als f(x)+f(y). Wie sieht das für andere Funktionen aus? Gilt zum Beispiel auch sin(x+y)=sin(x)+sin(y)? Die zugehörigen Berechnungsformeln, die in diesem Treffen auf geometrischer Basis hergeleitet werden sollen, heißen Additionstheoreme. Nach der Herleitung der Additionstheoreme soll ein Ausblick auf mögliche Anwendungen erfolgen.