Workshop für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Mittelstufenmathematik

Dauer: 90 bis 120 Minuten

Beschreibung: Angenommen in einem Hotel gibt es unendlich viele mit den natürlichen Zahlen durchnummerierte Zimmer, die alle belegt sind. Kann man dann noch einen, mehrere oder sogar unendlich viele weitere Gäste in dem Hotel unterbringen, indem man den bereits vorhandenen Gästen gegebenenfalls andere Zimmer zuweist? – Diese überraschend und paradox klingende Frage hat mit dem Begriff der Abzählbarkeit zu tun. Wir lernen abzählbare und überabzählbare Mengen kennen und werden unter anderem auch die oben formulierte Frage beantworten.

Workshop für Schülerinnen und Schüler ab der 9. Klasse

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Dauer: 120 bis 180 Minuten

Beschreibung: Als Einstieg führt uns die fortgesetzte Halbierung eines Quadrats der Seitenlänge 1 mit rein geometrischen Überlegungen auf 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1. Diese "unendliche Summe" ist unser erstes Beispiel für eine sogenannte "(unendliche) Reihe", und sie hat offenbar den Zahlenwert 1. Dabei ist es i.A. keineswegs klar, ob das Aufsummieren unendlich vieler Zahlen wie bei diesem Beispiel einen endlichen Wert liefert (also, mathematisch ausgedrückt, ob die Reihe "konvergiert")! Wir lernen intuitiv die Grundlagen über Reihen kennen, und wir untersuchen verschiedene einfache Reihen mit elementaren Mitteln darauf hin, ob sie konvergieren (also gegen einen Zahlenwert streben) oder nicht konvergieren (d.h. "divergieren"). – Es werden keine Kenntnisse über Folgen oder Reihen vorausgesetzt.

Workshop für Schülerinnen und Schüler der 6.-8. Klasse    

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Bruchrechnung

Dauer: 60 Minuten

Beschreibung: Ausgehend von einem Würfelexperiment mit drei sogenannten nicht-transitiven Würfeln untersuchen wir die scheinbar magischen Eigenschaften dieser drei Würfel: Wie kann es sein, dass der zweite Spieler bei dem folgenden Würfelexperiment im Schnitt häufiger gewinnt als der erste Spieler? Der erste Spieler darf sich einen der drei Würfel aussuchen, und danach wählt der zweite Spieler seinen Würfel unter den zwei verbleibenden. Beide Spieler würfeln nun gleichzeitig; wer die höhere Augenzahl wirft, gewinnt. Unabhängig davon, wie der erste Spieler wählt, hat der zweite Spieler immer eine bessere Chance zu gewinnen. Aber dann kann es keine besten Würfel geben, oder? – Wir untersuchen dieses verblüffende Phänomen in dem Workshop gemeinsam.

Workshop für Schülerinnen und Schüler ab der 9. Klasse

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Dauer: 90 oder 120 oder 180 Minuten

Beschreibung: In den reellen Zahlen hat die quadratische Gleichung x^2 = -1 keine Lösung, aber sehr wohl in den komplexen Zahlen. Wir lernen komplexe Zahlen und ihre Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kennen. In den komplexen Zahlen hat nun jede quadratische Gleichung (mit Vielfachheit gezählt) zwei Lösungen. Für quadratische Gleichungen mit reellen Keoffizienten können wir dieses auch allgemein beweisen. Weiter werden wir sehen, dass komplexe Zahlen als Punkte in der Ebene dargestellt werden können. Die Multiplikation komplexer Zahlen bekommt dann auch eine geometrische Anschauung, was wir aber aus Zeitgründen nur ansatzweise an einem Beispiel sehen werden. Neben dem Rechnen mit den neu kennengelernten komplexen Zahlen werden wir auch verschiedene kleinere Beweise zu einfachen Eigenschaften komplexer Zahlen selber durchführen.

Workshop für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Mittelstufenmathematik

Dauer: 120 bis 180 Minuten

Beschreibung: Einen Punkt x, in dem f(x) = x für eine Funktion f gilt, nennt man einen Fixpunkt der Funktion f (weil x von f auf sich selbst abgebildet wird, also "fix" bleibt). Z.B. hat f(x) = x^3 zwei Fixpunkte, nämlich x = 1 und x = -1. Fixpunktgleichungen f(x) = x spielen an vielen Stellen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Z.B. hilft es manchmal, ein Nullstellenproblem f(x) = 0 in eine Fixpunktgleichung g(x) = x mit einer geeigneten Funktion g (die von f abhängt) umzuwandeln. Dieses ist natürlich nur dann von praktischem Interesse, wenn sich die Nullstelle bzw. der Fixpunkt nicht einfach berechnen lässt. – Bei dem numerischen Verfahren der Fixpunktiteration zur Bestimmung eines Fixpunkts z einer Funktion f werden ausgehend von einem Startwert x_0 mit x_{n+1} = f(x_n), n = 0,1,2,..., nacheinander neue x-Werte berechnet. Es ist zunächst sehr überraschend, dass die Fixpunktiteration x_{n+1} = f(x_n), n = 0,1,2,..., unter geeigneten Voraussetzungen an f und für einen hinreichend guten Startwert x_0 mit wachsendem n durch x_{n+1} = f(x_n) immer bessere Näherungswerte für den Fixpunkt z liefert! Unter welchen Voraussetzungen das passiert, erklärt der Fixpunktsatz, der auch bewiesen wird. Wir wenden die Fixpunktiteration für verschiedene Beispiele an und untersuchen diese sowohl experimentell (Anwenden des Verfahrens) als aus theoretisch. – Die Programmierung der Fixpunktiteration erfolgt mit Excel-Tabellenkalkulation, d.h. die Teilnehmer*innen sollten Excel bzw. ein vergleichbares Programm zur Verfügung haben.

Workshop für Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe und Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Unterstufenmathematik

Dauer: 2 bis 3 Stunden (Länge anpassbar)

Beschreibung: Vielfach bekannt ist das einfachste der Schachbrettprobleme: Wir schneiden die beiden gegenüberliegenden weißen Eckfelder aus einem Schachbrett aus. Kann man den Rest des Schachbretts mit Dominosteinen (die immer jeweils zwei Felder eines Schachbretts ohne Überlappung überdecken) kacheln? Wenn ja, wie geht es? Wenn nein, warum geht es nicht? - In diesem Workshop untersuchen wir weitere Kachelungsprobleme des Schachbretts, bei denen das Schachbrett mit bestimmten Polyominos gekachelt werden soll. Ein Polyomino ist ein Vieleck, das aus mehreren längs kompletter Kanten zusammengefügten gleich großen Quadraten besteht. Aus zwei Quadraten erhält man nur das Domino. Aus drei Quadraten kann man ein längliches Tromino (alle drei Quadrate liegen nebeneinander) oder ein eckiges Tromino (die Quadrate formen ein L mit gleich langen Seiten) bilden. - Alle betrachteten Kachelungsprobleme lassen sich mit elementarer Logik mit Hilfe einer geeigneten Nummerierung oder Einfärbung des Schachbretts lösen.

Workshop für Schülerinnen und Schüler ab der 8. Klasse

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Dauer: 90, 120 oder 180 Minuten

Beschreibung: Ein magisches Quadrat ist ein quadratisches Zahlenschema, in welchem die Summe der Zahlen in jeder Zeile und in jeder Spalte sowie in jeder der beiden Diagonalen den selben Wert ergibt. Beispiele für magische Quadrate sind das Dürer 4x4-Quadrat, welches als ein Detail in Albrecht Dürers (1471–1528) Kupferstich Melancolia zu sehen ist, und das aus China stammende mindestens seit 650 v. Chr. bekannte Lo-Shu 3x3-Quadrat. – Wir werden in diesem Workshop magische 2x2-Quadrate, magische 3x3-Quadrate und ggf. magische 4x4-Quadrate untersuchen. Insbesondere konstruieren wir mit Hilfe logischer Überlegungen (also nicht einfach durch Ausprobieren) alle magischen 3x3-Quadrate mit den neun verschiedenen Einträgen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Eines dieser magischen 3x3-Quadrate ist das Lo-Shu 3x3-Quadrat.

Workshop für Schülerinnen und Schüler ab der 9. Klasse

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Dauer: 120 oder 180 Minuten

Beschreibung: Die Nullstellen von f (x) = x^3 - x kann man bequem per Hand ausrechnen, aber wie bestimmt man eigentlich die Nullstellen von g(x) = x^6 - x - 1? Durch Zeichnen des Graphen mit einem Programm wie GeoGebra lassen sich diese ungefähr bestimmen, aber was ist, wenn man eine Genauigkeit auf 8 Nachkommastellen benötigt? In diesem Fall muss man ein geeignetes Verfahren zur „numerischen“ Nullstellenberechnung verwenden. Dieses berechnet (bei erfolgreicher Anwendung) nacheinander eine Folge von immer besser werdenden Näherungen der gesuchten Nullstelle. In diesem Workshop lernen wir drei solche Verfahren kennen: das elementare Bisektionsverfahren, das Sekantenverfahren und schließlich das Newton-Verfahren. Wir werden diese sowohl praktisch zur Berechnung von Nullstellen anwenden als auch an einigen Beispielen die theoretischen Eigenschaften dieser Verfahren untersuchen. Die Programmierung der Verfahren erfolgt mit Excel-Tabellenkalkulation, d.h. die Teilnehmer*innen sollten Excel oder ein vergleichbares Programm zur Verfügung haben. Für das Newton-Verfahren werden keine Kenntnisse über die Ableitung vorausgesetzt.

Workshop für Schülerinnen und Schüler ab der 8. Klasse

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Dauer: 90 bis 120 Minuten

Beschreibung: Der Mathematiker Solomon W. Golomb schuf 1953 in Anlehnung an den Begriff Domino, die Bezeichnungen Tromino, Tetromino, Pentomino, Hexomino, ... für aus drei, vier, fünf, sechs ... Quadraten gebildete rechteckige Anordnungen, bei denen die Quadrate immer entlang ganzer Kanten aneinander gefügt sind. Allgemein werden alle diese „Puzzleteile“ als Polyominos bezeichnet. – Wir untersuchen in diesem Workshop, ob es möglich ist, Rechtecke passender Größen mit Tetrominos oder Pentominos zu parkettieren. Dabei spielen sowohl mathematische Überlegungen zum Finden passender Parkettierungen oder zum Nachweis ihrer Nicht-Existenz als auch Kreativität beim Experimentieren eine Rolle.

Workshop für Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe und Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Unterstufenmathematik

Dauer: 2 bis 3 Stunden (Länge anpassbar)

Beschreibung: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer oder gleich 2, die als einzige positive Teiler nur die Zahl 1 und sich selbst hat. Wir untersuchen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, und, wenn ja, wie diese sich verteilen. Weiter betrachten wir Primzahlzwillinge. - In diesem Workshop führen wir mit Anleitung auch mehrere interessante Beweise von einfachen Aussagen über Primzahlen durch.

Workshop für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Dauer: 180 Minuten

Vorkenntnisse: Mittelstufenstoff

Beschreibung: Die Fermatsche Vermutung, dass es keine natürlichen Zahlen a, b, c gibt, die a^n + b^n = c^n mit einer natürlichen Zahl mit n > 2 erfüllen, wurde bereits 1637 von Pierre de Fermat aufgestellt, aber erst 1995 von Andrew Wiles bewiesen. Diese ist eines der berühmtesten und sehr lange ungelösten Probleme der Mathematik. Wir wollen uns in diesem Mathezirkel-Treffen mit dem einfacheren Fall n = 2 befassen. Natürliche Zahlen a, b c, die a^2 + b^2 = c^2 erfüllen, nennt man Pythagoräische Tripel. Gibt es Pythagoräische Tripel, und, wenn ja, sind es endlich viele oder unendlich viele? Gibt es einen Algorithmus, mit dem man (alle) Pythagoräischen Tripel finden kann? Diese Fragen werden wir gemeinsam beantworten.

Workshop für Schülerinnen und Schüler ab der 8. Klasse

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Dauer: 90, 120 oder 180 Minuten

Beschreibung: Aus der Schule sind verschiedene Teilbarkeitsregeln bekannt, z.B. die Quersummenregel für Teilbarkeit durch 3 oder die Endstellenregel, dass eine Zahl durch 8 teilbar ist, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind. Aber warum gelten diese Teilbarkeitsregeln eigentlich, d.h. wie beweist man sie? Und wie kann man weitere Teilbarkeitsregeln finden? Gibt es beispielsweise eine Regel für Teilbarkeit durch 11, 37, 99 bzw. 101? Wenn ja, wie sehen diese Teilbarkeitsregeln aus, und wie leitet man sie her? Alle diese Fragen werden in dem Workshop beantwortet, und danach können die Teilnehmer*innen auch selber weitere Teilbarkeitsregeln herleiten! – Als mathematische Ausrüstung für den Workshop benötigen wir nur die Darstellung natürlicher Zahlen im Dezimalsystem, ein gutes Verständnis des Begriffs „Teiler“ einer ganzen Zahl und die Division mit Rest. Alles wird dabei kurz eingeführt bzw. wiederholt.

Workshop für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Mittelstufenmathematik

Dauer: 6 Stunden (mit Mittagspause)

Beschreibung: Wir lernen zunächst, wie man Punkte in der Ebene mit Ortsvektoren identifizieren kann, und lernen dann die Vektoraddition und skalare Multiplikation für Vektoren in der Ebene kennen. Weiter werden Polarkoordinaten in der Ebene eingeführt.

Anschließend interessieren wir uns für Abbildungen der Ebene, die Abstände von Punkten nicht verändern (sogenannte Isometrien): Dieses sind Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen. Wir führen 2x2-Matrizen ein und lernen, wie man solche Abbildungen bequem mithilfe der Matrix-Vektor-Multiplikation rechnerisch durchführen kann. Hier werden wir neben dem konkreten Rechnen mit Zahlen auch viele kleine nette Beweise selber führen.     

Es werden dabei keinerlei Kenntnisse der linearen Algebra vorausgesetzt. Wer solche Vorkenntnisse hat, wird vermutlich auch vormittags noch etwas dazulernen, aber spätestens im zweiten Teil dürfte das meiste unbekannt sein.

Probevorlesung für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Mittelstufenstoff

Dauer: 90 Minuten

Beschreibung: Angenommen in einem Hotel gibt es unendlich viele mit den natürlichen Zahlen durchnummerierte Zimmer, die alle belegt sind. Kann man dann noch einen, mehrere oder sogar unendlich viele weitere Gäste in dem Hotel unterbringen, indem man den bereits vorhandenen Gästen gegebenenfalls andere Zimmer zuweist? – Diese überraschende und paradox klingende Frage hat mit dem Begriff der Abzählbarkeit zu tun. Wir lernen in dieser Probevorlesung abzählbare und überabzählbare Mengen kennen und werden beweisen, dass die rationalen Zaheln abzählbar und die reellen Zaheln überabzählbar sind. Unter anderem werden wir dann auch die oben formulierte Frage beantworten können.

Probevorlesung für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Mittelstufenmathematik

Dauer: 90 Minuten

Beschreibung: Aus dem Film "Die Vermessung der Welt" weiß man, wie Carl Friedrich Gauß den Wert n(n+1)/2 der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n schon als kleiner Schüler elegant berechnete. Wie aber beweist man eine (erratene) Formel für die Summe der dritten Potenzen der natürlichen Zahlen von 1 bis n, und wie beweist man allgemeiner mathematische Summenformeln, Ungleichungen und Teilbarkeitsbeziehungen, die für alle natürlichen Zahlen gelten? − In dieser interaktiven Vorlesung lernt ihr, wie man solche mathematischen Aussagen mit dem Prinzip der vollständigen Induktion beweisen kann. Dabei werdet ihr auch selber einfache Beweise mit vollständiger Induktion durchführen.       

Probevorlesung für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Mittelstufenstoff

Dauer: 90 Minuten

Beschreibung: Was sind die Lösungen von x^2 = -1 und x^2 + 4 = 0? In den reellen Zahlen haben diese Gleichungen keine Lösung. Daher erweitert man den Zahlbegriff und führt mit Hilfe der imaginären Einheit i, definiert durch i^2 = -1, die komplexen Zahlen ein. Geometrisch kann man sich die komplexen Zahlen als Punkte in einer (x,y)-Ebene vorstellen; die reellen Zahlen liegen dann alle auf der x-Achse. Wir lernen, wie man komplexe Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Zum Abschluss zeigen wir, dass in den komplexen Zahlen jede quadratische Gleichung x^2 + a x + b = 0 (mit reellen Koeffizienten) nun mit Vielfachheit gezählt genau zwei komplexe Lösungen hat.

Probevorlesung für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozentin: Dr. Kerstin Hesse

Vorkenntnisse: Mittelstufenstoff

Dauer: 90 Minuten

Beschreibung: Woher kommen die aus der Schule bekannten Teilbarkeitsregeln? Endstellenregeln, (z.B. die Regeln, dass eine Zahl genau dann durch 4 teilbar ist, wenn die von ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist) kann man sich mit Hilfe der Zahldarstellung in unserem Dezimalsystem leicht überlegen. Aber wie kommt man eigentlich auf die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch 3, und wie kommt man auf die neue in der Vorlesung vorgestellte Regel zum Testen auf Teilbarkeit durch 33? Wir werden in dieser Vorlesung Restklassen kennenlernen und für diese eine Addition und Multiplikation einführen. Mit Hilfe dieser neuen „Maschinerie“ werden wir die Quersummenregel für Teilbarkeit durch 3 beweisen und können auch die neue Regel zum Testen auf Teilbarkeit durch 33 beweisen. 

Probevorlesung für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozent: Prof. Dr. Martin Kolb

Vorkenntnisse: Elementare Stochastik

Dauer: 60 Minuten (Online)

Beschreibung: Unter "Gesetz der kleinen Zahl" versteht man die folgende Frage: Wie viele "Erfolge" hat man typischerweise in einem Experiment mit sehr vielen Versuchen, wobei jedes einzelne Experiment kleine Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Wir werden uns mit dieser Frage sowohl theoretisch auseinandersetzen, aber auch mögliche interessante Anwendungen diskutieren, die von einem Werbespot für eine amerikanische Biermarke bis hin zu Bombeneinschlägen in London reichen.

Informationsvortrag über das Mathematikstudium

Dozent: Prof. Dr. Martin Kolb, Kerstin Hesse und ggf. andere Dozent*inn*en

Vorkenntnisse: keine

Dauer: 60 Minuten (einschließlich Fragen) 

Beschreibung: Was macht eigentlich ein*e Mathematiker*in? – In diesem Informationsvortrag erfahren Sie über die vielfältigen Berufsaussichten für Mathematiker*innen, über den Aufbau und die Inhalte eines Studiums der Mathematik oder Technomathematik und die erforderlichen Voraussetzungen.

Vortrag für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozent: Prof. Dr. Martin Kolb

Vorkenntnisse: elementare Kenntnisse der Stochastik

Dauer: nach Wahl zwischen 45 und 90 Minuten

Beschreibung: Anhand des Spiels Monopoly wird das Konzept einer Markovkette motiviert und diskutiert. Einige Grundlagen der Theorie werden anschließend hergeleitet und benutzt, um verschiedene Spielstrategien zu bewerten.

Vortrag für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe

Dozent: Prof. Dr. Martin Kolb

Vorkenntnisse: elementare Kenntnisse der Stochastik

Dauer: nach Wahl zwischen 45 und 90 Minuten

Beschreibung: Anhand einiger berühmter Kriminalfälle beleuchten wir sowohl den Missbrauch wie auch den Nutzen stochastischer und statistischer Schlussweisen in einem Kontext, in dem sorgfältige Argumentation offensichtlich von besonderer Wichtigkeit ist.