Symplektische Geometrie

Dr. Benjamin Küster (Uni Marburg)

Die symplektische Geometrie ermöglicht eine elegante und allgemeine Formulierung der klassischen Mechanik und zentraler Prinzipien wie dem Noether-Theorem, welches besagt, dass es zu jeder Symmetrie eines mechanischen Systems eine entsprechende Erhaltungsgröße gibt. Darüber hinaus ist die symplektische Geometrie ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen auch für viele andere Gebiete nützlich sind, und an dem sich der Unterschied zwischen lokal und global, also dem Rechnen in Koordinaten und dem Betrachten des Gesamtsystems, sehr gut verinnerlichen lässt. Nach einer Einführung in die Sprache der Mannigfaltigkeiten und der Differentialformen (das Tempo richtet sich nach den vorhandenen Vorkenntnissen) werden wir symplektische Strukturen definieren und mit Hilfe der Moser-Theoreme das Darboux-Theorem beweisen, welches besagt, dass alle symplektischen Mannigfaltigkeiten lokal isomorph sind. Danach widmen wir uns Hamiltonschen Systemen und formulieren das Noether-Theorem. Wenn noch Zeit bleibt, behandeln wir schließlich Symmetriereduktion.

Die Vorlesung ist sehr empfehlenswert für alle, die in den folgenden Semestern die Vorlesungen Mikrolokale Analysis, Resonanzen I und Resonanzen II hören möchten.

Prof. Dr. Margit Rösler

Eine Vielzahl wichtiger physikalischer Phänomene werden durch Partielle Differentialgleichungen beschrieben. Die Vorlesung Partielle Differentialgleichungen gibt eine Einführung in grundlegende Konzepte und Resultate aus der Theorie partieller Differentialgleichungen. Behandelt werden

• Klassische Lösungsmethoden für verschiedene Typen (linearer) partieller Differentialgleichungen anhand der Grundgleichungen der mathematischen Physik (Laplace-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung) und für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mittels Charakteristiken
• Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
• Distributionen und Fundamentallösungen
• Schwache Lösungen elliptischer Gleichungen

Weitere Informationen zur Vorlesung finden sich unter auf der Vorlesungshomepage.

Zeitstetige Markovketten

Prof. Dr. Martin Kolb

Die Vorlesung führt in die Theorie der Markovprozesse in stetiger Zeit ein. Zunächst werden zeitstetige Markovketten mit abzählbarem Zustandsraum konstruiert und analysiert. Hier werden wir uns zunächst vor allem probabilistischer Hilfsmittel bedienen. Anschließend sollen Verbindungen zur analytischen Theorie der Halbgruppen beleuchtet werden. Falls noch Zeit bleibt, wird ein Ausblick auf die mathematische Analyse von sogenannten Spin-Systemen gegeben.
 

Mathematik der Quanteninformatik (Blockseminar)

JProf. Dr. Tobias Weich

Die Quanteninformatik (Quantum information science) beschäftigt sich mit Speicherung von Information mittels quantenmechanischer Zustände und der Informationsverarbeitung durch quantenmechanische Gesetze. Sie ersetzt dabei das Prinzip der digitalen Datenverarbeitung der klassischen Informatik. Überraschenderweise eröffnen die quantenmechanischen Prinzipien wie Verschränkung, Superposition und Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen einen vollkommen neuartige Zugänge und Lösungsansätze zur Bewältigung von Problemen der modernen Informationsverarbeitung wie Quantenkryptographie, Quantensimulationen oder Quantencomputing.

In diesem Seminar soll der Fokus auf der mathematischen modellierung der Quanteninformatik liegen. Es soll im Detail erarbeitet werden, dass mathematische Konstrukte, wie die Symmetrischen/Antisymmetrische Algebra, Darstellungstheorie uniärer Gruppen, und bestimmte Zufallsmatrix Resultate eine entscheidende Rolle beim Entwurf und Verständnis von Quantenalgorithmen spielen.

Seminarhomepage