Representation Theory of Compact Groups (4+2)

Prof. Dr. Joachim Hilgert

The representation theory of compact groups is not only an important special case of group representation theory, it is also a fundamental building block for the representation theory of non-compact semisimple and reductive groups. In this introductory course we will explain the basic constructions and properties of unitary representations of compact groups and their decomposition into irreducible ones (Peter-Weyl theory). Further, we will outline how to construct and classify irreducible unitary representations of compact Lie groups. Depending on the knowledge of the participants this will be done either for the example of unitary groups U_n or else for general compact Lie groups.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren (4+2)

Prof. Dr. Bernhard Krötz

TBA

Klassische Spezielle Funktionen (2+1)

Prof. Dr. Margit Rösler

Wichtige Klassen spezieller Funktionen stehen in engem Zusammenhang mit Symmetrien: sie treten z.B. auf bei Separationsansätzen für partielle Differentialgleichungen mit Symmetrien, als Koeffizienten von Darstellungen von Liegruppen, und als Basisfunktionen bei der Analysis auf symmetrischen Räumen.
In der Vorlesung werden wir - stets unter einem strukturellen Blickwinkel - typische solche Funktionenklassen besprechen. Im Mittelpunkt stehen dabei die Theorie orthogonaler Polynome sowie Differentialgleichungen im Komplexen und hypergeometrische Funktionen.

Funktionalanalysis und Spektraltheorie

Prof. Dr. Helge Glöckner

Die Vorlesung stellt unter anderem funktionalanalytischen Hintergund für harmonische Analysis und
Darstellungstheorie bereit.

Normierte Räume spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Analysis, aber auch allgemeinere topologische Vektorräume, deren Topologie nicht mehr durch eine einzelne Norm, sondern mittels einer Familie von Halbnormen beschrieben wird.

Der erste Teil der Vorlesung ist der Theorie solcher lokal konvexer topologischer Vektorräume gewidmet und einigen relevanten Beispielklassen.

Im zweiten Teil studieren wir Banachalgebren und insbesondere C*-Algeben (wie die Algebra B(H) der beschränkten Operatoren in einem Hilbertraum H). Darstellungen kommutativer C*-Algebren lassen sich durch Spektralmaße auf deren Spektrum beschreiben. Daraus folgen u.a. Spektralsätze für hermitesche sowie für normale Operatoren in Hilberträumen, welche die aus der linearen Algebra bekannten Resultate über hermitesche bzw. normale Matrizen verallgemeinern.