Sphärische Räume I (4+0)

Prof. Dr. Bernhard Krötz

Allgemein: Sei G eine algebraische reell reduktive Gruppe, etwa G = GL(n,R), sowie H eine algebraische Untergruppe von G, typischerweise der Stabilisator eines Vektors v in einem Darstellungsraum V von G. Mit dem Datum (G,H) bilden wir den homogenen Raum Z = G/H. Beispiel: G = GL(n,R) und H ist der Stabilisator von e1 in dem Darstellungsraum V = Rⁿ. Dann: Z ≅ Rⁿ \ {0} als G-Raum. Weiter sei P eine minimale parabolische Untergruppe, z.B. die invertierbaren unteren Dreieckmatrizen in GL(n,R). Man nennt den homogenen Raum Z = G/H reell sphärisch, falls eine offene P-Bahn auf Z existiert. Klar: obiges Beispiel ist reell sphärisch, denn Pe₁⊂Rⁿ \ {0} ist die offene Menge, welche durch nichtverschwindende erste Koordinate beschrieben wird.

Wir können eine reduktive Gruppe G' auch als homogenen Raum unter beidseitigen Symmetrien G = G' × G' auffassen: G' ≅ Z = G / diag(G'). Die Bahnstruktur der parabolischen Untergruppe P = P'×P' < G auf Z korrespondiert dann zur Bruhat-Zerlegung von G'; insbesondere ist Z = G / diag(G') reell sphärisch. Ein ähnliches Argument zeigt, dass jeder symmetrische Raum reell sphärisch ist. Die Klasse der reell sphärischen Räume ist jedoch erheblich größer, umfasst die der symmetrischen Räume weit.

Bis vor wenigen Jahren war es eingängige Auffassung, dass symmetrische Räume die maximal natürliche Verallgemeinerung von reell reduktiven Gruppen sind. Um so erstaunlicher war es, dass sich zentrale Resultate aus der Theorie der reduktiven Gruppen auf reell sphärische Räume übertragen ließen. Aber diese 'Übertragung' hat es in sich: vertraute Formulierungen bedürfen (radikaler) Änderung und Altherbekanntes braucht grundlegend neue Beweise. Das ist der Reiz!

Dieser Kurs ist eine steile Hinführung in die aktuelle Forschung betitelter Themen aus erster Hand. Sätze werden in der Regel für Beispiele bewiesen. Hilfreiche Vorkenntnisse: elementare Lie- und Darstellungstheorie für Teil I, höhere Funktionalanalysis für Teil II.

Teil I: Allgemeine Einführung in die Geometrie reeller reduktiver Gruppen und assoziierter homogener Räume. Volumenwachstum auf homogenen Räumen. Reelle sphärische Räume: Multiplizitatenfreiheit für endlich dimensionale Darstellungen, Bahnenendlichkeit, Lokaler Struktursatz (Struktur offener Bahnen), Polarzerlegung, Äquivariante Kompaktifizierungen.

Beugt man einen Lichtstrahl an einem Kristall, so erhält man ein
diskretes Beugungsbild mit scharfen Lichtpunkten (“Bragg peaks”), aus dem sich der
ursprüngliche Kristall rekonstruieren lässt. Die mathematische Erklärung
für diese Phänomene liefert die harmonische Analysis in Form der
Poissonschen Summationsformel. Lange Zeit waren Kristalle die einzigen
bekannten Materialien mit diskretem Beugungsbild. Im Jahre 1984 wies Dan
Schechtman (Chemie-Nobelpreis 2011) experimentell die Existenz von
Quasikristallen, also Nicht-Kristallen mit diskretem Beugungsbild
nach, und stürzte damit die Kristallographie in eines schwere Grundlagenkrise.
Rettung kam wiederum aus der harmonischen Analysis. Yves Meyer
(Abelpreisträger 2017) hatte bereits Ende der 60er Jahre aperiodische
Teilmengen des Euklidischen Raums konstruiert, deren Beugungsmaße in
einem geeigneten Sinne diskret sind, und die damit als mathematische Modelle
für Quasikristalle dienen können. Aus mathematischer Sicht ist es natürlich
nicht notwendig sich auf Quasikristalle im euklidischen Raum zu
beschränken - mathematische Quasikristalle können in sehr allgemeinen Räumen
definiert und untersucht werden, z.B. in hyperbolischen Räumen oder in
Heisenberggruppen.

In dieser Vorlesung werden wir mathematische Quasikristalle definieren
und aus geometrischer, analytischer und dynamischer Perspektive analysieren.
Ein Ziel der Vorlesung ist es, eine allgemeine Formel für das Beugungsmaß
sogenannter Modellmengen in kommutativen Räumen zu präsentieren, die wir
gemeinsam mit Michael Björklund und Felix Pogorzelski entwickelt haben.
Kommutative Räume sind eine weitreichende Verallgemeinerung Riemannscher
symmetrischer Räume und bilden den Rahmen für die sogenannte sphärische
harmonische Analysis. Ein wesentlicher Teil der Vorlesung wird der
Entwicklung dieses Teilgebiets der harmonischen Anaylsis gewidmet sein.
Daneben werde auch Methoden aus der Ergodentheorie zum Einsatz kommen,
die ebenfalls im Rahmen der Vorlesung entwickelt werden.

Voraussetzung zur Teilnahme sind neben Grundkenntnissen in Topologie,
Funktionalanalysis und Maßtheorie vor allem mathematische Neugier und die
Bereitschaft sich auf neue Gebiete einzulassen. Vorkenntnisse in
(abelscher) harmonischer Analysis sind hilfreich, aber nicht zwingend
erforderlich.