Du lernst die anderen Teilnehmer/innen des Mathezirkels kennen und testest dein logisches Denkvermögen an den Denksport- und Knobelaufgaben unseres neuen Mathe-Quiz.

(Hinweis: Es handelt sich um ein anderes Quiz als im letzten Semester.)

Kann man die Elemente einer unendlichen Menge durchnummerieren, so nennt man die Menge abzählbar. Ist dieses nicht möglich, so nennt man die Menge überabzählbar. Die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen sind abzählbar, aber auch die rationalen Zahlen sind abzählbar. Wir zeigen dieses, und wir werden auch mit einem Widerspruchsbeweis zeigen, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind. Dann werden wir einige Probleme mit abzählbaren Mengen betrachten.

Wie studiert man Mathematik (oder Technomathematik), und wie läuft ein Studium überhaupt ab?

In einem Vortrag erfahren wir, welche Vorlesungen man in den ersten zwei Jahren des Bachelorstudiums der Mathematik (und Technomathematik) hören muss, lernen den Uni-Alltag mit Vorlesungen sowie Tutorien mit Präsenz- und Hausübungen kennen und erfahren, wie wichtig das Selbststudium zum Nacharbeiten der Vorlesungen und Lösen der Hausübungen ist. Natürlich können während des Vortrags jederzeit Fragen gestellt werden.

Im zweiten Teil des Treffens besichtigen wir den Campus der Universität Paderborn.

Die Berechnung einer Nullstelle für eine Funktion f, d.h. eines x mit f(x)=0, ist ein sehr häufig auftretendes Problem in der Mathematik, aber auch bei vielen Anwendungen.

Wir lernen verschiedene Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle kennen und analysieren diese bezüglich ihrer Funktionsweise, um die Vor- sowie Nachteile der Ansätze zu erkennen. Dabei spielt auch eine Betrachtung des Aufwands zur Berechnung einer Nullstelle eine wichtige Rolle.

In diesem Mathezirkel-Treffen wollen wir uns mit "magischen Quadraten" beschäftigen: Quadraten, in denen Zahlen so angeordnet sind, dass die Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und auf jeder der Diagonalen dieselbe Summe ergeben.

Wir lösen gemeinsam Wettbewerbsaufgaben der ersten Runde eines früheren Bundeswettbewerbs Mathematik. 

Anhand einfacher Beispiele werden fraktale Strukturen untersucht.

Angefangen mit besonderen Schneeflocken und dem Haus des Nikolaus schauen wir uns mehrere weihnachtliche Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik an. - Dass für weihnachtliches Gebäck gesorgt ist, versteht sich von selbst.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Höhe mal Breite.

Wie gelangt man hiervon zu den Flächeninhalten allgemeiner ebener Figuren, und wie kann man Flächeninhalte berechnen?

Pythagoräische Tripel kommen in der Geometrie als die Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken vor, deren Seitenlängen alle ganzzahlig sind. Einfache Beispiele sind (3,4,5) und (5,12,13), wie man an den Identitäten 9+16=25 und 25+144=169 sieht. 

In dieser Vorlesung wird erklärt, wie man eine unendliche Liste von pythagoräischen Tripeln erstellen kann und wie man zeigt, dass diese Liste vollständig ist.

Das Extremalprinzip ist eine Strategie zur Lösung mathematischer Probleme, insbesondere Probleme, die sehr komplex aussehen und keinen richtigen Lösungsansatz erkennen lassen. Die Strategie ist: Wenn möglich, ordne die Elemente des Problems, betrachte ein "größtes" oder ein "kleinstes" Element und versuche daraus interessante Information zu extrahieren. Das sieht zwar banal aus, funktioniert aber trotzdem oft auf wundersame Weise. Wir werden uns die Mächtigkeit des Prinzips anhand einiger Beispiele verdeutlichen.

In der Natur kommen zahlreiche Objekten vor, die sich mathematisch als Polyeder beschreiben lassen. Dabei handelt es sich um spezielle Körper, deren Oberflächen aus ebenen Vielecken zusammengesetzt sind. Darunter fallen beispielsweise makroskopische Objekte wie Pyramiden oder Kristalle, aber auch mikroskopische, wie zum Beispiel Moleküle.

Besondere Regelmäßigkeiten von diesen Polyedern faszinierten schon den griechischen Philosophen Platon, der diejenigen Polyeder in seinen Werken ausführlich beschreibt, deren Oberfläche ausschließlich aus kongruenten, regelmäßigen Vielecken besteht.

Doch wie viele solcher Körper lasen sich tatsächlich konstruieren? Dieser Frage wollen wir nachgehen und dabei die Euler'sche Polyederformel ausnutzen, um eine systematische Lösung des Problems zu erhalten.

Zerschneidet man Kegel, entstehen an den Schnittkannten verschiedene Schnittkurven, die zum Teil bereits aus der Schule bekannt sind: Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Neben präzisen geometrischen Definitionen dieser Kurven sollen in dem Kurs insbesondere (nichtlineare) Gleichungen hergleitet werden, mit denen sich die Schnittkurven beschreiben lassen, wobei der Schwerpunkt zunächst auf Kreisen und Ellipsen liegen soll. Mit Hilfe der Gleichungen lassen sich wiederum Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang dieser Figuren herleiten.

Bei Interesse kann das Thema im Mathezirkel im Sommersemester mit Parabeln und Hyperbeln fortgesetzt werden.

Der goldene Schnitt ist ein spezielles Teilungsverhältnis, das in erstaunlicher Vielfalt in der Kunst, Architektur und Natur auftritt und besonders ästhetisch anmutet. Die Fibonacci-Zahlen dienen u.a. zur Beschreibung von Populationsentwicklungen. Wir werden mit diesen beiden mathematischen Objekte etwas herumspielen und einen erstaunlichen Zusammenhang zwischen ihnen herausarbeiten.