Geometrische Numerische Integration

Dozentin: Prof. Ober-Blöbaum

Mathematische Modelle zur Beschreibung physikalischer Prozesse weisen oft bestimmte geometrische Eigenschaften wie zum Beispiel Symmetrien oder Energieerhaltung auf. In dieser Vorlesung werden numerische Methoden behandelt, welche die geometrischen Eigenschaften des Flusses einer Differentialgleichung, die ein physikalisches System beschreibt, erhalten. 

Zunächst werden Grundlagen der Integrationstheorie wie der Konsistenz und der Kovergenzbegriff wiederholt. Dann werden verschiedene numerische Integratoren (Runge-Kutta-Methoden, Kollokationsmethoden, partitionierte Methoden, Kompositionsmethoden und Splitting-Methoden) eingeführt. Für die vorgestellten Integratoren werden Bedingungen zur Erhaltung erster Integrale hergeleitet und bewiesen. Nach einer kurzen Einführung symmetrischer Integratoren werden anschließend symplektische Integratoren für Lagrange- und Hamiltonsysteme behandelt.

Dazu werden zunächst grundlegende Definitionen und Konzepte für Lagrange- und Hamiltonsysteme eingeführt wie das Hamiltonsche Prinzip, die Symplektizität, das Noether-Theorem und damit verbundene Erhaltungseigenschaften des dynamischen Systems. Eine diskrete Formulierung führt auf die Klasse der Variationsintegratoren, welche äquivalent zu der Klasse symplektischer Integratoren ist. Die Symplektizität führt auf genauere Langzeitsimulationen, was mit Konzepten der Rückwärtsfehleranalyse bewiesen und anhand von Beispielen validiert wird.

Spektraltheorie

Dozentin: Prof. Rösler

Die Spektraltheorie ist ein wichtiges Mittel zum Verständnis der Eigenschaften linearer Operatoren. Dabei wird die Spektraltheorie linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Räumen, die man bereits aus der Linearen Algebra kennt, ausgedehnt auf lineare Operatoren in Banach- und Hilberträumen. Wir werden kompakte Operatoren und ihre Spektratheorie studieren und Spektralsätze sowie einen "Funktionenkalkül" für beschränkte normale Operatoren sowie für selbstadjungierte unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen kennenlernen.  Dabei werden wir uns stets auch wichtige Beispielklassen ansehen. 

Die stetigen linearen Operatoren auf einem Banach- bzw. Hilbertraum bilden eine Banach- bzw. C*-Algebra, und so steht ihre Spektraltheorie in engem Kontext zur Spektraltheorie in Banach- und C*-Algebren, die einen Eckpfeiler dieser Vorlesung bilden wird. Im Mittelpunkt steht dabei die sogenannte Gelfand-Theorie kommutativer Banachalgebren, eine abstrakte Verion der klassische Fourieranalysis, die auch in der harmonischen Analysis von Bedeutung ist.

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Quantenentropie und Spurungleichungen

Dozent: Melchior Wirth (IST Austria, Gastdozent)

Quantenentropien spielen eine zentrale Rolle in der Quanteninformationstheorie und der Theorie offener Quantensysteme. Zum Beispiel sind die Gleichgewichtszustände eines Systems gerade jene Zustände, die die von-Neumann-Entropie bei gegebener Energie maximieren. Weiterhin liefert die relative Entropie von Umegaki ein vielfach genutztes Maß für die Unterscheidbarkeit zweier Quantenzustände. Wesentlich hierfür ist die Datenverarbeitungsungleichung, die besagt, dass Quantenoperationen Zustände ununterscheidbarer machen. Mathematisch sind Quantenentropien meist als Spur gewisser Funktionen von Matrizen gegeben, sodass die mathematische Behandlung von Quantenentropien sich wesentlich auf Analyse von Matrixungleichungen stützt.

In dieser Vorlesung werden zunächst die mathematischen Grundlagen (endlich-dimensionaler) Quantensysteme wie Quantenzustände, Quantenoperation usw. diskutiert. Ein erster Schwerpunkt sind die Darstellungssätze für Quantenoperationen von Stinespring, Choi und Kraus. Danach behandeln wir Funktionen von selbstadjungierten Matrizen und deren Monotonie und Konvexität, insbesondere den Satz von Löwner über operatormonotone Funktionen. Anschließend beschäftigen wir uns mit einigen Spurungleichungen wie Liebs Konkavitätssatz und Andos Konvexitätssatz. Diese führen unmittelbar zur Datenverarbeitungsungleichung für die relative Entropie und der Frage der Wiederherstellbarkeit von Quantenzuständen. Sollte dafür noch Zeit bleiben, werden wir am Ende der Vorlesung auf neuere Entwicklungen eingehen bezüglich Entropieungleichungen für die kontinuierliche Zeitentwicklung offener Quantensystem und deren Anwendungen für Dekohärenzzeitabschätzungen.

Numerical methods for mechanical and quantum systems

Dozenten: Dr. Khaled Hariz Belgacem & Dr. Boris Wember

Part 1: Geometric numerical integration for mechanical sys-
tems

In this part we look at the ability of numerical integrators to preserve the geometric features
of ODEs for mechanical systems over long time periods, features such as the symplecticity, re-
versibility, preservation of energy, momentum, angular momentum and symmetries. Typically,
the underlying geometric features affect the qualitative behaviour of solutions, and thus, nu-
merical methods that preserve the geometry of problem yield simulations that are qualitatively
more accurate. These numerical methods known as geometric numerical integrations, and we
will illustrate the effectiveness of such integrations. Both geometric and non-geometric numerical
integrations are applied to the Kepler problem, N-Body problem, the Harmonic oscillator, etc.
We will develop a discrete Lagrangian variational principle to derive what is called variational
integrator i.e. a particular class of geometric numerical integration, and error analysis will be
studied. We will then construct higher-order variational integrators (also known as Galerkin
variational integrators).

Part 2: Numerical techniques for optimal quantum control
systems

In this second part, we will first introduce quantum systems especially in the framework of
optimal control (such as control Schrödinger equation, two-level quantum system, Bose-Einstein
condensates in magnetic microtraps, etc) ; and discuss some of their properties (such as unitarity,
Lie group structure, etc.).
Secondly, we will introduce some adapted numerical methods to deal with this class of systems
such as splitting method, Magnus expansion and Cayley transform based methods. During the
sessions, students will have the opportunity to implement these different methods on some
classical examples, thus familiarizing themselves with different solvers that exist for this type of
problems.

Mathematische Quantenmechanik

Dozent: Dr. Benjamin Hinrichs

Die Quantenmechanik stellt neben Einstein's Relativitätstheorie die wohl größte Revolution der theoretischen Physik des 20. Jahrhunderts dar. Aus mathematischer Sicht ging sie mit der Entwicklung der heute fundamentalen Techniken der Funktionalanalysis einher. In dieser Vorlesung wollen wir den Zusammenhang zwischen diesen mathematischen Methoden und der Beschreibung physikalischer Phänomene erarbeiten. Dabei werden keine Vorkenntnisse aus der Physik vorausgesetzt.

Als thematischen Einstieg vergleichen wir die Axiome der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik eines einzelnen Teilchens. Mit Hilfe der Hardy-Ungleichung werden wir in diesem Formalismus die Stabilität des Wasserstoff-Atoms beweisen. Anschließend lernen wir den abstrakteren Zusammenhang zwischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung, stark stetigen unitären Gruppen und selbstadjungierten Operatoren auf Hilberträumen kennen. Als Beispiel behandeln wir im Anschluss allgemeine Schrödingeroperatoren mit verschiedensten Potentialen, insbesondere bezogen auf Wohldefiniertheit als selbstadjungierter Operator, das zugehörige Eigenwertproblem und Eigenschaften von Eigenfunktionen.

Grundkenntnisse aus einer Funktionalanalysis-Vorlesung auf Bachelor-Niveau sollten vorhanden sein (Hilberträume und stetige Operatoren).

Harmonische Analysis

Dozentin: Prof. Margit Rösler

Nach einer allgemeinen Einführung in die Theorie lokalkompakter Gruppen und einigen Grundlagen über homogene Räume widmen wir uns im ersten Teil der Vorlesung der Analysis auf lokalkompakten abelschen Gruppen. Dies schließt die Theorie der Fourierreihen und die Fouriertransformation auf dem Rⁿ als Spezialfälle ein. Behandelt werden insbesondere positiv definite Funktionen, der Satz von Plancherel und die Pontryagin-Dualität.

Der zweite Teil der Vorlesung ist der Theorie der Gelfand-Paare und ihrer sphärischen Funktionen gewidmet. Dabei hat man es mit homogenen Räumen zu tun, die durch kommutative Faltungsalgebren charakteriesiert sind. Wichtige Beispiele sind Sphären und hyperbolische Räume. Die harmonische Analysis von Gelfand-Paaren steht im Wechselspiel mit Methoden der Darstellungstheorie, deren Grundlagen wir ebenfalls behandeln werden.

Voraussetzung: Kenntnisse der Funktionalanalysis im Umfang einer einsemestrigen Einführung.

Vielteilchentheorie (Many Body Quantum Mechanics, Blockvorlesung)

Dozenten: Dr. Sascha Lill (Università degli Studi di Milano)

This course provides an introduction into the essential mathematical tools needed
to study many-body quantum systems. We start with recalling some elementary properties of operators on Hilbert spaces, which allow us to define dynamics of a quantum system, as well as its ground state
and thermal equilibrium states. To apply these notions to systems with many particles, we introduce tools including symmetric and antisymmetric tensor products (for bosons or fermions), Fock spaces, creation and annihilation operators and the second quantization of a one-body operator. If time permits, we will also cover Bogoliubov transformations, which are fundamental in quantum optics, as well as in the celebrated Bogoliubov theory and BCS theory.

The course will partly follow the publicly available lecture notes: http://web.math.ku.dk/~solovej/MANYBODY/mbnotes-ptn-5-3-14.pdf.

Mikrolokale Analysis

Dozent: Prof. Tobias Weich

Lineare partielle Differentialgleichungen (PDGLs) stellen zweifelsohne die einfachste Klasse partieller Differentialgleichungen dar. Gleichzeitig ist es aber auch die Klasse der PDGLs deren Lösungstheorie am vollständigsten und vor allem auch am Konzeptionellesten entickelt ist.

Ähnlich wie es bei der Lösunngsräumen von PDGLs hilfreich ist, den Raum der Funktionen zu vergrößern und verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) zu studieren, ist es bei der Regularitätsanalyse linerarer PDGls hilfreich den Raum Differentialoperatoren zu vergrößern und die Klasse der sogenannten Pseudodifferentialoperatoren zu studieren. Ziel der Vorlesung ist es, ausgehend von konkreten Fragestellungen zu motivieren, warum das Studium von Pseudodifferentialoperatoren natürlich ist. Außerdem sollen grundlegende Konzepte des Pseudodifferentialoperator-Klaküls (Symbolkalkül, Parametrixkonstruktionen, ...) erarbeitet werden.

Faszinierender Weise haben die dabei entwickelten Objekte auch eine physikalisch motivierte Interpreation: In physikalischen Systemen entspricht das Symbol gerade der Hamilton Funktion und der zugehörige (Pseudo)Differentialoperator dem Quantenmechanischen Hamilton Operator. Man spricht bei der Konstruktion eines Pseudodifferentialoperators aus seinem Symbol daher auch von einer "Quantisierung" und die mikrolokale Analysis liefert einen rigorosen Rahmen um zu verstehen, warum wir im Alltag unsere im Grunde Quantenmechanische Welt nur "klassisch" wahrnehmen.

Zielgruppe: Masterstudierende oder fortgeschrittene Bachelorstudierende, die über eine solide Kenntnis der Funktionalanalysis verfügen. Darüber Hinaus sind grundlegende Kenntnisse der Theorie von partiellen Differentialgleichungen und der Distributionetheorie hilfreich, aber nicht zwingend notwendig. Je nach Hörerschaft können grundlegende Ergebisse in diesen Bereichen im Rahmen dieser Vorlesung nachgeholt werden.

Partielle Differentialgleichungen

Dozentin: Prof. Margit Rösler

Partielle Differentialgleichungen treten bei der Modellierung zahlreicher natürlicher Phänomene auf, insbesondere in der mahematischen Physik. Sie spielen aber tatsächlich in nahezu allen (auch strukturellen) Bereichen der Analysis eine Rolle. 

In der Vorlesung werden behandelt:

• Klassische Lösungsmethoden für verschiedene Typen (linearer) partieller Differentialgleichungen anhand der Grundgleichungen der mathematischen Physik (Laplace-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung) und für PDG 1. Ordnung mittels Charakterisitiken
• Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
• Distributionen, Fundamentallösungen, Sobolev-Räume
• Variationsformulierung und schwache Lösungen elliptischer Gleichungen, Regularitätstheorie