Geometrische Numerische Integration

Dozentin: Prof. Ober-Blöbaum

Mathematische Modelle zur Beschreibung physikalischer Prozesse weisen oft bestimmte geometrische Eigenschaften wie zum Beispiel Symmetrien oder Energieerhaltung auf. In dieser Vorlesung werden numerische Methoden behandelt, welche die geometrischen Eigenschaften des Flusses einer Differentialgleichung, die ein physikalisches System beschreibt, erhalten. 

Zunächst werden Grundlagen der Integrationstheorie wie der Konsistenz und der Kovergenzbegriff wiederholt. Dann werden verschiedene numerische Integratoren (Runge-Kutta-Methoden, Kollokationsmethoden, partitionierte Methoden, Kompositionsmethoden und Splitting-Methoden) eingeführt. Für die vorgestellten Integratoren werden Bedingungen zur Erhaltung erster Integrale hergeleitet und bewiesen. Nach einer kurzen Einführung symmetrischer Integratoren werden anschließend symplektische Integratoren für Lagrange- und Hamiltonsysteme behandelt.

Dazu werden zunächst grundlegende Definitionen und Konzepte für Lagrange- und Hamiltonsysteme eingeführt wie das Hamiltonsche Prinzip, die Symplektizität, das Noether-Theorem und damit verbundene Erhaltungseigenschaften des dynamischen Systems. Eine diskrete Formulierung führt auf die Klasse der Variationsintegratoren, welche äquivalent zu der Klasse symplektischer Integratoren ist. Die Symplektizität führt auf genauere Langzeitsimulationen, was mit Konzepten der Rückwärtsfehleranalyse bewiesen und anhand von Beispielen validiert wird.

Spektraltheorie

Dozentin: Prof. Rösler

Die Spektraltheorie ist ein wichtiges Mittel zum Verständnis der Eigenschaften linearer Operatoren. Dabei wird die Spektraltheorie linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Räumen, die man bereits aus der Linearen Algebra kennt, ausgedehnt auf lineare Operatoren in Banach- und Hilberträumen. Wir werden kompakte Operatoren und ihre Spektratheorie studieren und Spektralsätze sowie einen "Funktionenkalkül" für beschränkte normale Operatoren sowie für selbstadjungierte unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen kennenlernen.  Dabei werden wir uns stets auch wichtige Beispielklassen ansehen. 

Die stetigen linearen Operatoren auf einem Banach- bzw. Hilbertraum bilden eine Banach- bzw. C*-Algebra, und so steht ihre Spektraltheorie in engem Kontext zur Spektraltheorie in Banach- und C*-Algebren, die einen Eckpfeiler dieser Vorlesung bilden wird. Im Mittelpunkt steht dabei die sogenannte Gelfand-Theorie kommutativer Banachalgebren, eine abstrakte Verion der klassische Fourieranalysis, die auch in der harmonischen Analysis von Bedeutung ist.

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Quantenentropie und Spurungleichungen

Dozent: Melchior Wirth (IST Austria, Gastdozent)

Quantenentropien spielen eine zentrale Rolle in der Quanteninformationstheorie und der Theorie offener Quantensysteme. Zum Beispiel sind die Gleichgewichtszustände eines Systems gerade jene Zustände, die die von-Neumann-Entropie bei gegebener Energie maximieren. Weiterhin liefert die relative Entropie von Umegaki ein vielfach genutztes Maß für die Unterscheidbarkeit zweier Quantenzustände. Wesentlich hierfür ist die Datenverarbeitungsungleichung, die besagt, dass Quantenoperationen Zustände ununterscheidbarer machen. Mathematisch sind Quantenentropien meist als Spur gewisser Funktionen von Matrizen gegeben, sodass die mathematische Behandlung von Quantenentropien sich wesentlich auf Analyse von Matrixungleichungen stützt.

In dieser Vorlesung werden zunächst die mathematischen Grundlagen (endlich-dimensionaler) Quantensysteme wie Quantenzustände, Quantenoperation usw. diskutiert. Ein erster Schwerpunkt sind die Darstellungssätze für Quantenoperationen von Stinespring, Choi und Kraus. Danach behandeln wir Funktionen von selbstadjungierten Matrizen und deren Monotonie und Konvexität, insbesondere den Satz von Löwner über operatormonotone Funktionen. Anschließend beschäftigen wir uns mit einigen Spurungleichungen wie Liebs Konkavitätssatz und Andos Konvexitätssatz. Diese führen unmittelbar zur Datenverarbeitungsungleichung für die relative Entropie und der Frage der Wiederherstellbarkeit von Quantenzuständen. Sollte dafür noch Zeit bleiben, werden wir am Ende der Vorlesung auf neuere Entwicklungen eingehen bezüglich Entropieungleichungen für die kontinuierliche Zeitentwicklung offener Quantensystem und deren Anwendungen für Dekohärenzzeitabschätzungen.

Numerical methods for mechanical and quantum systems

Dozenten: Dr. Khaled Hariz Belgacem & Dr. Boris Wember

Part 1: Geometric numerical integration for mechanical sys-
tems

In this part we look at the ability of numerical integrators to preserve the geometric features
of ODEs for mechanical systems over long time periods, features such as the symplecticity, re-
versibility, preservation of energy, momentum, angular momentum and symmetries. Typically,
the underlying geometric features affect the qualitative behaviour of solutions, and thus, nu-
merical methods that preserve the geometry of problem yield simulations that are qualitatively
more accurate. These numerical methods known as geometric numerical integrations, and we
will illustrate the effectiveness of such integrations. Both geometric and non-geometric numerical
integrations are applied to the Kepler problem, N-Body problem, the Harmonic oscillator, etc.
We will develop a discrete Lagrangian variational principle to derive what is called variational
integrator i.e. a particular class of geometric numerical integration, and error analysis will be
studied. We will then construct higher-order variational integrators (also known as Galerkin
variational integrators).

Part 2: Numerical techniques for optimal quantum control
systems

In this second part, we will first introduce quantum systems especially in the framework of
optimal control (such as control Schrödinger equation, two-level quantum system, Bose-Einstein
condensates in magnetic microtraps, etc) ; and discuss some of their properties (such as unitarity,
Lie group structure, etc.).
Secondly, we will introduce some adapted numerical methods to deal with this class of systems
such as splitting method, Magnus expansion and Cayley transform based methods. During the
sessions, students will have the opportunity to implement these different methods on some
classical examples, thus familiarizing themselves with different solvers that exist for this type of
problems.

Mathematische Quantenmechanik

Dozent: Dr. Benjamin Hinrichs

Die Quantenmechanik stellt neben Einstein's Relativitätstheorie die wohl größte Revolution der theoretischen Physik des 20. Jahrhunderts dar. Aus mathematischer Sicht ging sie mit der Entwicklung der heute fundamentalen Techniken der Funktionalanalysis einher. In dieser Vorlesung wollen wir den Zusammenhang zwischen diesen mathematischen Methoden und der Beschreibung physikalischer Phänomene erarbeiten. Dabei werden keine Vorkenntnisse aus der Physik vorausgesetzt.

Als thematischen Einstieg vergleichen wir die Axiome der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik eines einzelnen Teilchens. Mit Hilfe der Hardy-Ungleichung werden wir in diesem Formalismus die Stabilität des Wasserstoff-Atoms beweisen. Anschließend lernen wir den abstrakteren Zusammenhang zwischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung, stark stetigen unitären Gruppen und selbstadjungierten Operatoren auf Hilberträumen kennen. Als Beispiel behandeln wir im Anschluss allgemeine Schrödingeroperatoren mit verschiedensten Potentialen, insbesondere bezogen auf Wohldefiniertheit als selbstadjungierter Operator, das zugehörige Eigenwertproblem und Eigenschaften von Eigenfunktionen.

Grundkenntnisse aus einer Funktionalanalysis-Vorlesung auf Bachelor-Niveau sollten vorhanden sein (Hilberträume und stetige Operatoren).

Harmonische Analysis

Dozentin: Prof. Margit Rösler

Nach einer allgemeinen Einführung in die Theorie lokalkompakter Gruppen und einigen Grundlagen über homogene Räume widmen wir uns im ersten Teil der Vorlesung der Analysis auf lokalkompakten abelschen Gruppen. Dies schließt die Theorie der Fourierreihen und die Fouriertransformation auf dem Rⁿ als Spezialfälle ein. Behandelt werden insbesondere positiv definite Funktionen, der Satz von Plancherel und die Pontryagin-Dualität.

Der zweite Teil der Vorlesung ist der Theorie der Gelfand-Paare und ihrer sphärischen Funktionen gewidmet. Dabei hat man es mit homogenen Räumen zu tun, die durch kommutative Faltungsalgebren charakteriesiert sind. Wichtige Beispiele sind Sphären und hyperbolische Räume. Die harmonische Analysis von Gelfand-Paaren steht im Wechselspiel mit Methoden der Darstellungstheorie, deren Grundlagen wir ebenfalls behandeln werden.

Voraussetzung: Kenntnisse der Funktionalanalysis im Umfang einer einsemestrigen Einführung.